## Product Type Dynamical Systems: variational principle

janeiro 16, 2012
(English Below)

Este é um resumo do seminário que vou apresentar dia 26 de janeiro de 2012 no Imperial College London.

This is the abstract of a seminar I am about to present on 26 January of 2012 at the Imperial College London DynamIC Seminars. The slides will be upload to this page as soon as they are available.

### Abstract

Inspired by the Kolmogorov-Sinai entropy (KS-entropy) for a measure-preserving dynamical system, Adler, Konheim and McAndrew developed a purely topological concept of entropy (AKM-entropy) for topological dynamical systems over compact phase spaces. The AKM-entropy relates to the KS-entropy trough the so called Variational Principle: $h(T) = \sup_\mu h_\mu(T),$ where $h(T)$ is the AKM-entropy and $h_\mu(T)$ is the KS-entropy for the dynamical system $T$. The supremum is taken over all possible Borel measures.

Since then, many attempts to generalise this to non-compact spaces have been made. But not always the Variational Principle holds for this new concept. Bowen did it for metrizable systems. For a definition that uses some heavy machinery under the umbrella of topological pressure, Pesin and Pitskel’ have proved that the Variational Principle holds under some (hard to verify) hypothesis. In this Seminar, I will present a new concept of entropy which is surprisingly close to the AKM-entropy, and for which the Variational Princilpe still holds for a wide range of spaces. We have called those, Product Type Dynamical Systems.

novembro 10, 2009

Pré-requisito: Teorema de Decomposição de Hahn.

Definição: Dada uma medida com sinal $\nu$ e uma medida $\mu$ sobre uma mesma $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$, dizemos que $\nu$ é absolutamente contínua com relação a $\mu$, e denotamos por $\nu \ll \mu$, quando para todo $A \in \mathcal{F}$,

$\displaystyle \mu(A) = 0 \Rightarrow \nu(A) = 0$.

Teorema (Radon-Nikodym): Sejam $\nu$ uma medida e $\mu$ uma medida finita (ou $\sigma$-finita) sobre a $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$ com $\nu \ll \mu$. Então existe $f: \Omega \to [0, \infty]$ ($\mathcal{F}$-mensurável), tal que para todo $A \in \mathcal{F}$,

$\displaystyle \nu(A) = \int_A f d\mu$.

Demonstração:
Podemos assumir que $\mu(\Omega) \neq 0$, pois caso contrário, $\nu(\Omega) = 0$. Ou seja, ambas as medidas seriam iguais a zero.

O caso $\sigma$-finito é reduzido ao caso finito usando uma partição enumerável $A_n$ de $\Omega$ com medida finita. Vamos então assumir que $\mu(\Omega) < \infty$.

Denote por $\mathcal{G}$ a família de todas as funções $\mathcal{F}$-mensuráveis $f: \Omega \to [0, \infty]$, tais que

$\displaystyle \int_A f d\mu \leq \nu(A)$.

Note que $0 \in \mathcal{G}$.

Todas as integrais que seguirão serão com respeito à medida $\mu$, que será omitida para simplificar a notação.

Afirmação 1: Se $f,g \in \mathcal{G}$, então $\max\{f,g\} \in \mathcal{G}$.

Basta notar que

$\displaystyle \int_A \max\{f,g\} = \int_{A \cap [f \geq g]} f + \int_{A \cap [f < g]} g \leq \\ \leq \nu(A \cap [f \geq g]) + \nu(A \cap [f < g]) = \nu(A)$.

Afirmação 2: Se $f_n \in \mathcal{G}$, e $f_n \uparrow f$, então $f \in \mathcal{G}$.

Pelo teorema da convergência monótona,

$\displaystyle \int_A f = \lim \int_A f_n \leq \nu(A)$.

Afirmação 3: Existe $f \in \mathcal{G}$ tal que

$\displaystyle \int_\Omega f = \sup_{g \in \mathcal{G}} \int_\Omega g d\mu$.

Faça $\alpha = \sup_{g \in \mathcal{G}} \int_\Omega g d\mu$. Tome uma sequência $f_n \in \mathcal{G}$ tal que $\int_\Omega f_n \rightarrow \alpha$. Pela afirmação 1, podemos assumir que $f_n$ é uma sequência crescente. Fazendo $f = \lim f_n$, temos que $f_n \uparrow f$, e pela afirmação 2, $f \in \mathcal{G}$. Temos então que

$\displaystyle \int_\Omega f = \lim \int_\Omega f_n = \alpha$.

Tome $f$ satisfazendo a afirmação 3, e defina $\theta(A) = \int_A f$. Então $\theta \leq \nu$ é uma medida (pelo teorema da convergência monótona). Para concluir a demonstração, vamos mostrar que $\theta = \nu$.

Se $\theta$ e $\nu$ não forem iguais, existe $B \in \mathcal{F}$ tal que $0 \leq \theta(B) < \nu(B) \leq \infty$. Em particular, $\theta_B$ é finita. Portanto, a seguinte função de conjunto é uma medida com sinal:

$\displaystyle \phi = \nu_B - \theta_B - \frac{\delta}{\mu(\Omega)} \mu_B$,

onde $\delta > 0$ é tal que $\delta < \nu(B) - \theta(B)$. A notação $\nu_B$ indica a medida restrita ao conjunto $B$. Ou seja, $\nu_B(A) = \nu(A \cap B)$.

Note que $\phi(B) \geq \nu(B) - \theta(B) + \delta > 0$. Pelo lema do teorema da decomposição de Hahn (ou pela própria decomposição de Hahn), existe $E \subset B$, com $\nu(E) \geq \phi(E) > 0$, tal que para todo $A \in \mathcal{F}$,

$\displaystyle \phi(A \cap E) \geq 0$.

Ou seja, para todo $A \in \mathcal{F}$,

$\displaystyle \nu(A \cap E) \geq \theta(A \cap E) + \frac{\delta}{\mu(\Omega)} \mu(A \cap E)$.

Fazendo então $h = \frac{\delta}{\mu(\Omega)} \chi_E$, onde $\chi_E$ é a função indicadora do conjunto $E$, teremos que

$\displaystyle \int_A (f + h) = \int_{A \setminus E} f + \int_{A \cap E} (f + h) =\\= \theta(A \setminus E) + \theta(A \cap E) + \frac{\delta}{\mu(\Omega)} \mu(A \cap E) \leq \\ \leq \nu(A \setminus E) + \nu(A \cap E) = \nu(A)$.

Ou seja $f + h \in \mathcal{G}$.

Pela maximalidade de $f$, teríamos que $\mu(E) = 0$. Mas isso implicaria que $\nu(E) = 0$. Contrariando a escolha de $E$. Portanto,

$\displaystyle \mu = \theta$.

Observação 1: (corolário)
Se $\nu$ fosse uma medida com sinal, utilizando a decomposição de Hahn $\nu = \nu^+ - \nu^-$ tal que $\nu^+ \ll \mu$ e $\nu^- \ll \mu$, poderíamos aplicar o teorema de Radon-Nikodym para as partes positiva e negativa, obtendo $\nu(A) = \int_A (f^+ - f^-) d\mu$.

Neste caso, $\nu^+ = \nu_{[f^+ > 0]}$ e $\nu^- = \nu_{[f^- > 0]}$.

Observação 2:
Quando definimos a medida

$\displaystyle \phi = \nu_B - \theta_B - \frac{\delta}{\mu(\Omega)} \mu_B$,

poderíamos ter utilizado $\frac{\delta}{\mu(B)} \mu_B$ no lugar do último termo. A única complicação seria afirmar que $E$ poderia ser escolhido dentro de $B$. Mas isso é evidente, pois todo subconjunto de $E^c$ tem medida $\phi$ nula.

Se nos restringirmos ao caso $B = \Omega$, a parte principal da demonstração, é que se duas medidas $\nu$ e $\theta$ satisfazem

$\displaystyle \theta(B) < \nu(B)$,

então, dada uma medida $\mu$ qualquer, podemos escolher $E$, com $\nu(E) > 0$, e $\delta$ tais que

$\displaystyle \theta + \frac{\delta}{\mu(B)} \mu_E \leq \nu$.

A hipótese $\nu \ll \mu$ serve para garantir que $\mu_E \neq 0$ e $\mu(B) > 0$.

## Teorema de Decomposição de Hahn

novembro 9, 2009

Definição: Dada uma $\sigma$-álgebra $\sigma$ sobre $\Omega$, uma medida com sinal sobre $\sigma$ é uma aplicação $\nu: \sigma \to \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ que satisfaz:
1. $\nu(\emptyset) = 0$.
2. $\nu(\biguplus_{j=1}^\infty A_i) = \sum_{j=1}^\infty \nu(A_i)$.

Definição: Dado um elemento $E \in \sigma$, definimos $\nu_E: \sigma \to \mathbb{R}$ por:
$\nu_E(A) = \nu(A \cap E)$.

Definição: Dizemos que $E \in \sigma$ é $\nu$-positivo quando $\nu_E$ for uma medida (sem sinal). Dizemos que $F$ é $\nu$-negativo se $-\nu_F$ é uma medida (sem sinal).

Lema: Se $A \in \sigma$ é tal que $\nu(A) > 0$, então existe $E \in \sigma$, $\nu$-positivo, tal que $E \subset A$ e $\nu(E) \geq \nu(A) > 0$.

Demonstração:
Faça $E_0 = A$. Para $E_n$ definido, faça $S_n = \inf_{C \subset E_n} \nu(C)$ e escolha $C_n \subset E_n$ tal que $\nu(C_n) \leq S_n / 2$ quando $S_n > -\infty$, ou $\nu(C_n) \leq -1$ caso contrário. Então tome $E_{n+1} = E_n \setminus C_n$.

Faça $E = \bigcap E_n = A \setminus \biguplus C_n$. Vamos mostrar que $E$ é $\nu$-positivo e $\nu(E) \geq \nu(A)$.

Afirmação 1: $\nu(E) \geq \nu(A)$.

Segue de $\nu(A) = \nu(E) + \sum \nu(C_n) \leq \nu(E)$.

Afirmação 2: existe $n_0$ com $-\infty < S_{n_0}$.

Caso contrário, $\nu(\biguplus C_n) = \sum \nu(C_n) \leq \sum -1 = -\infty$. Contrariando o fato de que $\nu > -\infty$.

Afirmação 3: Para $n \geq n_0$, $\frac{S_n}{2} \leq S_{n+1} \leq 0$.

Tome uma sequência $F_k \subset E_{n+1}$ tal que $\nu(F_k) \rightarrow S_{n+1}$. Então, $S_n \leq \nu(F_k \uplus C_n) = \nu(F_k) + \nu(C_n) \leq \\ \leq \nu(F_k) + S_n / 2 \rightarrow S_{n+1} + S_n / 2$.

As afirmações 2 e 3 implicam que $S_n \uparrow 0$. Como todo subconjunto $C \subset E$ é também subconjunto de $E_n$, temos que $\nu(C) \geq S_n \rightarrow 0$, e portanto $\nu(C) \geq 0$. Assim, $E$ é $\nu$-positivo.

Corolário 1: Se a medida com sinal $\nu$ for finita, então dado $A \in \sigma$ tal que $\nu(A) < 0$, então existe $E \subset A$ $\nu$-negativo tal que $\nu(E) \leq \nu(A) < 0$.

Demonstração:
Basta aplicar o lema para a medida com sinal $-\nu$.

Corolário 2: Se $A \in \sigma$ é tal que $\nu(A) < 0$, então existe $E \subset A$ $\nu$-negativo tal que $\nu(E) \leq \nu(A) < 0$.

Demonstração:
Basta aplicar o corolário 1 para a medida com sinal finita $\nu_A$, notando que $\nu_A(A) = \nu(A) < 0$. Note que $E$ é $\nu$-negativo, pois, como $E$ é $\nu_A$-negativo, temos que $\nu(C) = \nu(C \cap A) = \nu_A(C) \leq 0$ para todo $C \subset E \subset A$.

Teorema (decomposição de Hahn): Seja $\nu$ uma medida com sinal. Então, existe um conjunto $E \in \sigma$ que é $\nu$-positivo, e tal que $F = E^\complement$ é $\nu$-negativo.

Em particular, $\nu = \nu_E - (-\nu_F)$ é uma decomposiçao de $\nu$ como uma diferença de duas medidas (sem sinal).

Demonstração:
Seja $\mathcal{F}$ a família de todos os conjuntos $\nu$-negativos.

Afirmação 1: A família $\mathcal{F}$ é fechada por união enumerável.

Seja $F_n \in \mathcal{F}$. Tome $E_1 = F_1$ e $E_n = F_n \setminus \bigcup_{j=1}^{n-1} F_j$. Seja $A \subset \bigcup F_n = \biguplus E_n$. Então, $\nu(A) = \sum \nu(A \cap E_n) \leq 0$. Ou seja, $F = \bigcup F_n \in \mathcal{F}$.

Afirmação 2: Existe $F \in \mathcal{F}$ tal que $\nu(F) = \inf_{K \in \mathcal{F}} \nu(K)$.

Pela afirmação 1, basta tomar $F_n \in \mathcal{F}$ tal que $\nu(F_n) \rightarrow \inf_{K \in \mathcal{F}} \nu(K)$ e $F = \bigcup F_n$. Como $\nu(F) \leq \nu(F_n)$, pois $F$ é $\nu$-negativo, temos que $\nu(F) = \inf_{K \in \mathcal{F}} \nu(K)$.

Afirmação 3: O conjunto $E = F^\complement$ é $\nu$-positivo.

Caso contrário, existiria $A \subset E$ tal que $\nu(A) < 0$. Pelo corolário 2, existiria $E' \subset A \subset E$ $\nu$-negativo, com $\nu(E') < 0$. Neste caso teríamos que $F \uplus E' \in \mathcal{F}$, e $\nu(F \uplus E') < \nu(F)$. Contrariando a hipótese de que $\nu(F) = \inf_{K \in \mathcal{F}} \nu(K)$.

## Movimentos Brownianos em Variedades Riemannianas “pouco regulares”

março 25, 2009

Seja M uma variedade diferenciável. Dizemos que uma métrica Riemanniana em M é de classe L^p_{loc} (ou pertence ao espaço de Sobolev W^{k,p}_{loc}) se as funções coordenadas gij em relação a um sistema de coordenadas (e portanto em relação a todos os sistemas de coordenadas) pertencem a L^p_{loc}. Por exemplo, poliedros podem ser representados por uma variedade diferenciável munida de uma métrica L^p_{loc}.

http://arxiv.org/abs/math.DG/0608230

Estudei o seguinte problema no preprint que está no endereço acima: Seja M uma variedade diferenciável compacta e considere uma família a uma parâmetro g_\epsilon de métricas Riemannianas suaves convergindo L^p a uma métrica Riemanniana L^p. O que acontece com os objetos clássicos da geometria Riemanniana, como a conexão de Levi-Civita e o tensor de curvatura ao longo dessa convergência? O “bom comportamento” de alguns objetos foram verificados em relação a essa convergência no preprint citado.

Queria perguntar o seguinte: Alguém conhece a teoria de movimentos Brownianos (MB) em espaços menos regulares do que uma variedade Riemanniana? Talvez seja interessante estudar o que acontece com o MB em relação à convergência L^p (ou W^{k,p}) de métricas Riemannianas.