Resultado do meu concurso na UnB

dezembro 18, 2014

Ontem saiu o resultado de um concurso para professor que fiz aqui na UnB. Finalmente, fui aprovado. :-)

Mas meu objetivo neste post, não é simplesmente comemorar. Gostaria de seguir meus princípios e valores e colocar aqui um link para o PDF com a avaliação da banca. Espero estar contribuindo para que um dia esses processos sejam mais transparentes.

A transparência é interesse de toda a sociedade. O controle social é importante não (apenas) para garantir os direitos individuais dos candidatos de um concurso, mas para garantir que os resultados não são manipulados. É interesse de toda a sociedade que a seleção esteja em acordo com princípios constitucionais de imparcialidade e impessoalidade. Talvez, devido ao alto grau de especialização necessário para que se componha uma banca para escolha de um professor universitário, hoje o processo é realizado pelo próprio departamento interessado. Existe um evidente conflito de interesses, já que muitos candidatos possuem relações com os professores que tomarão as decisões finais. Relações que podem prejudicá-los ou beneficiá-los. Reconhecer esta deficiência é o primeiro passo para saná-la.


Teorema de Cayley-Hamilton

julho 26, 2013

Um enunciado e demonstração bacana de que o polinômio característico de uma transformação linear A anula essa transformação, em outras palavras:

Teorema. (A - \lambda_1)(A - \lambda_2) \ldots (A-\lambda_n) = 0

onde A é uma transformação linear de um espaço vetorial complexo de dimensão n com autovalores \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n (com possíveis repetições).

Demonstração. Escolha uma base e_1, e_2, e_3, \ldots na qual a matriz de A é triangular superior de modo que

A =\begin{pmatrix} \lambda_1 & * & * & \cdots \\ & \lambda_2 & * & \cdots \\ & & \lambda_3 & \cdots \\ & & & \ddots \end{pmatrix}

e então

\begin{array}{r}  (A-\lambda_1)(A-\lambda_2) (A-\lambda_3) \ldots = \\  \begin{pmatrix}  0 & * & * & \cdots \\ & * & * & \cdots \\ & & * & \cdots \\ & & & \ddots  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  * & * & * & \cdots \\ & 0 & * & \cdots \\ & & * & \cdots \\ & & & \ddots  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  * & * & * & \cdots \\ & * & * & \cdots \\ & & 0 & \cdots \\ & & & \ddots  \end{pmatrix}  \ldots  \end{array}
onde a ordem dos fatores no produto pode ser trocada.

Calculando em e_1 temos que

\begin{array}{rcl}  \ldots (A-\lambda_1) e_1 & = & \\  \begin{pmatrix}  0 & * & * & \cdots \\ & * & * & \cdots \\ & & * & \cdots \\ & & & \ddots  \end{pmatrix} e_1 & = & 0  \end{array}

Calculando em e_2 temos que

\begin{array}{rcl}  \ldots (A-\lambda_1)(A-\lambda_2) e_2 & = & \\  \ldots (A-\lambda_1) \begin{pmatrix} * & * & * & \cdots \\ & 0 & * & \cdots \\ & & * & \cdots \\ & & & \ddots \end{pmatrix} e_2 & = & \\  \ldots (A-\lambda_1) * e_1 & = & 0  \end{array}

Calculando em e_3 temos que

\begin{array}{rcl}  \ldots (A-\lambda_1)(A-\lambda_2)(A-\lambda_3) e_3 & = & \\  \ldots (A-\lambda_1) (A-\lambda_2) \begin{pmatrix} * & * & * & \cdots \\ & * & * & \cdots \\ & & 0 & \cdots \\ & & & \ddots \end{pmatrix} e_3 & = & \\  \ldots (A-\lambda_1)(A-\lambda_2) * e_1 + * e_2 & = & 0  \end{array}

E assim em diante, calculado na base e_1, e_2, e_3, \ldots, e_n esse produto dá zero, logo o produto é a matriz zero. \square

Algumas considerações:

  • A demonstração formal seria por indução e com alguns detalhes a mais, mas acredito que a demonstração acima ilustra bem as ideias e, o mais bacana, deixa claro porque as coisas funcionam!
  • Os dois tipos de demonstração que eu conhecia disso eram: via matriz de cofatores (é feia, se presta a generalizações para matriz sobre anéis, mas é algébrica demais), via densidade de matrizes complexas diagonalizáveis (é bacana, mas usa topologia e continuidade e pressupõe mais maturidade). Essa aqui usa apenas coisas básicas de álgebra linear mas é geral suficiente para matrizes sobre corpos (tomando o fecho algébrico do corpo). É claro que teria que depois argumentar porque o teorema também vale para matrizes reais.
  • Nunca ensinei Álgebra Linear, mas em termos da sequência de assuntos, imagino assim: dentro do tópico de subespaços invariantes e formas normais de transformações 1) definição de autovetor e autovalor, 2) definição de polinômio característico. Daqui em diante num espaço vetorial complexo: 3) existência de $n$ autovalores complexos (raízes do polinômio característico), 4) existência de pelo menos um autovetor para cada autovalor distinto, 5) a existência de uma uma base na qual a matriz de uma transformação é triangular superior: consequência da existência de autovetor, pode ser feita mais concretamente com matrizes ou mais abstratamente com espaços e transformações quocientes, na forma triangular superior os autovalores aparecem na diagonal.
  • A forma triangular superior de uma transformação pode ser  a primeira forma normal (também conhecida como forma de Schür), que depois poderia ser refinada para a forma de Jordan. Note que a forma de Schür pode motivar a definição de autoespaços generalizados.

Extensões Centrais em Física.

março 20, 2013

Tropecei neste artigo esses dias, tentando entender grupos de laços. Nele, os autores discutem como extensões centrais de grupos e álgebras de Lie (em particular, recobrimentos universais), aparecem na Física. Vale dar uma olhada!

http://math.univ-lille1.fr/~gmt/PaperFolder/CentralExtensions.pdf


Variedades Flag de Posto Um São Esferas.

março 4, 2013

Da série “Entendendo a Tese do Lonardo”.

Teorema. Seja G um grupos de Lie semissimples cuja álgebra de Lie \mathfrak g tem posto real um, e tomemos P\subseteq G um subgrupo parabólico (único a menos de conjugação). Então, a variedade flag G/P é difeomorfa a \mathbb S^n, em que n =\dim (\mathfrak g_\alpha\oplus\mathfrak g_{2\alpha}) e \alpha é raiz simples.

Demonstração. Em geral, \mathfrak g=\mathfrak n^-\oplus\mathfrak m\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n^+\mathfrak p=\mathfrak m\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n^+, de modo que \dim(G/P)=\dim \mathfrak n^-=\dim\mathfrak n^+. Como o posto real de \mathfrak g é um, temos \mathfrak n^+=\mathfrak g_\alpha\oplus\mathfrak g_{2\alpha}. Resta provar que G/P é uma esfera.

Para tanto, lembramos que G/P é difeomorfo a K/M, em que G=KAN e P=MAN são as decomposições de Iwasawa, e que K/M é equivalente, como K-espaço homogêneo, à órbita de um elemento regular H\in\mathfrak s por \mathrm{Ad}(K). A hipótese do posto real de \mathfrak g ser um implica duas coisas: (i) para H\in\mathfrak s ser regular basta H\neq 0, e (ii) existe uma correspondência 1-1 entre elementos regulares de \mathfrak s e subespaços abelianos maximais pela relação \mathfrak a = \mathbb R H.

Escolhamos, então, um vetor H\in\mathfrak s tal que ||H||^2 = B(H,H)=1 (B é forma de Cartan-Killing de \mathfrak g, que é um produto interno quando restrita a \mathfrak s) e ponhamos \mathfrak a:=\mathbb R H. Como \mathrm{Ad}(K) preserva B, então \mathrm{Ad}(K)H\subseteq \mathbb S_1(\mathfrak s). Reciprocamente, se H'\in\mathbb S_1(\mathfrak s) e \mathfrak a': =\mathbb R H', então existe k\in K tal que \mathrm{Ad}(k)\mathfrak a = \mathfrak a', isto é, \mathrm{Ad}(k)H=\pm H'. Como todo elemento do grupo de Weyl admite representante em K via \mathrm{Ad}, concluimos que \mathrm{Ad}(k')H=H' para algum k'\in K, ou seja, que H'\in\mathrm{Ad}(K)H. Isto prova que G/P=K/M=\mathrm{Ad}(K)H = \mathbb S_1(\mathfrak s). \square

Aqui usamos a restrição para o K. Tem como construir diretamente uma ação transitiva de G numa esfera com isotropia P?


EDOs lineares de coeficientes constantes via Álgebra Linear

dezembro 26, 2012

Sempre ouvi falar que a solução de EDOs lineares homogêneas de coeficientes constantes bem como o Método dos Coeficientes a Determinar pode ser feita como aplicação de ferramentas de Álgebra Linear.

Como não achei isso feito explicitamente, escrevi essas notas disponíveis clicando aqui.  Achei bem interessante ver que todos os casos acabam sendo reduzidos aos casos

y^{(n)} = 0 ou y^{(n)} = polinômio,

que tem solução geral polinomial :D  Gostei especialmente da demonstração dos Coeficientes a Determinar no caso em que o termo não-homogêneo é um polinômio.

Alguém sabe onde isso é feito explicitamente? Eu achei algumas coisas dispersas na Internet aqui e aqui mas elas escondem a Álgebra Linear.

Do jeito que está acho que algumas coisas daqui podem ser usadas como exercícios para um curso de Álgebra Linear.  Acho que algumas coisas também podem ser adaptadas para um curso de EDO para uma turma mais interessada, como é feito nos links da Internet que pus no parágrafo anterior.

Correções, comentários e contribuições são sempre bem-vindos!


União de subespaços vetoriais.

agosto 31, 2012

O objetivo desse post é demonstrar o seguinte resultado de Álgebra Linear, que usamos o tempo todo mas que frequentemente não paramos para provar.

Teorema: Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo infinito \mathbb K e tome V_1,\dots, V_n\subseteq V subespaços vetoriais. Então, V_1\cup\cdots\cup V_n é um subespaço de V se, e só se, um dos V_i‘s contém todos os outros.

Antes de prová-lo, vejamos a consequência do Teorema que nos interessa.

Corolário: Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo infinito \mathbb K e tome f_1,\dots,f_n\in V^* não nulos. Então, existe v\in V tal que f_i(v)\neq 0 para todo i=1,\dots,n.

(Uma versão desse resultado é um exercício do Hoffman-Kunze.)

Para provar esse Corolário, consideramos os subespaços V_i:=\ker f_i. É preciso mostrar que V_1\cup\cdots\cup V_n\subsetneq V, e fazemos isso supondo o contrário. Então, V_1\cup\cdots\cup V_n = V é um subespaço vetorial de V, e pelo Teorema isso significa que, para algum V_i, V_i\supseteq V_j para todo j=1,\dots,n. Portanto, V=V_1\cup\cdots\cup V_n=V_i=\ker f_i, ou seja, f_i=0. Como supomos cada f_j\neq0, obtemos um absurdo.

(Para quem não sabe, a gente usa esse Corolário para produzir elementos regulares e completamente regulares em álgebras de Lie semissimples. No primeiro caso, os funcionais considerados são as raízes, e no segundo as diferenças entre elas.)

Demonstração do Teorema: (\Leftarrow) Imediato. (\Rightarrow) Se V_i\subseteq V_1\cup\cdots\cup\widehat{V_i}\cup\cdots\cup V_n para algum i, então podemos excluir o subespaço V_i da lista pois ele não contribui para a união V_1\cup\cdots\cup V_n. Logo, podemos supor, sem perda de generalidade, que V_1\nsubseteq V_2\cup\cdots\cup V_n. Vamos provar que V_i\subseteq V_1 para todo i. Seja v_0\in V_1\backslash(V_2\cup\cdots\cup V_n), e tomemos v\in V_2\cup\cdots\cup V_n qualquer. Como V_1\cup\cdots\cup V_n é subespaço e u_0,v\in V_1\cup\cdots\cup V_n, então ku_0+v\in V_1\cup\cdots\cup V_n para todo k\in\mathbb K. Logo, para cada k, ou kv_0+v\in V_1 ou kv_0+v\in V_2\cup\cdots\cup V_n.

\vdash k_0v_0+v\in V_1 para algum k_0\in\mathbb K.

Como v_0\notin V_2\cup\cdots\cup V_n, então para cada 2\leq i\leq n podemos escolher f_i\in V_i^0 tal que f_i(v_0)\neq 0, em que W^0:=\{f\in V^*:\forall w\in W,\, f(w)=0\} para cada W\subseteq V. (Isso porque \dim_\mathbb K V<\infty.) Consideremos o polinômio p(k)=\prod_{i=2}^n f_i(kv_0+v) = \prod_{i=2}^n \big(f_i(v_0)k+f_i(v)\big), e notemos que seu termo dominante é \left[\prod_{i=2}^n f_i(v_0)\right]k^{n-1}\neq 0. Com isso, p é não nulo de grau n-1, e portanto possui uma quantidade finita de raízes. Como \mathbb K é infinito, segue que existe k_0\in\mathbb K tal que p(k_0)\neq 0, i.e., tal que f_i(k_0v_0+v)\neq0 para todo 2\leq i\leq n, i.e., tal que k_0v_0+v\notin V_2\cup\cdots\cup V_n. Portanto, k_0v_0+v\in V_1. \dashv

Por fim, como v_0\in V_1 e k_0v_0+v\in V_1, temos v\in V_1. QED

(No caso em que \mathbb K é algebricamente fechado, dá para fazer uma demonstração bem curtinha desse Teorema usando a noção de redutibilidade de uma variedade algébrica. Mas isso envolve o Nullstellensatz e, honestamente, é usar canhão para matar mosca.)

Considerações finais.

  1. Obtive essa prova tentando emular a demonstração, mais simples, do caso n=2 (que também vale para corpos finitos). Nessa situação, V_2\cup\cdots\cup V_n=V_2 é um subespaço e o argumento envolvendo polinômios é desnecessário: se v_0\in V_1\backslash V_2 e v\in V_2, então v_0+v\in V_2 implica v_0=(v_0+v)-v\in V_2 e obtemos imediatamente que v_0+v\in V_1. Por outro lado, quando tentamos generalizar isso para n\geq3, esbarramos no problema que, em geral, V_2\cup\cdots\cup V_n não é subespaço, e v_0=(v_0+v)-v pode não estar em V_2\cup\cdots\cup V_n (e frequentemente este é o caso).
  2. Como contraexemplo, temos o espaço vetorial V=\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2 sobre (o corpo finito) \mathbb Z_2. Tomando V_1=\{0;(1,0)\}, V_2=\{0;(1,1)\} e V_3=\{0;(0,1)\}, é imediato que V_1,V_2,V_3 são subespaços e que V=V_1\cup V_2\cup V_3.
  3. Para provar o Corolário diretamente, procede-se de maneira análoga à demonstração do Teorema, mas a passagem com anuladores não é necessária, o que faz com que o Corolário valha mesmo que \dim V=\infty.

Quem tiver correções ou comentários, é só postar um comentário abaixo. :P


Seminário de Teoria de Lie

agosto 21, 2012

Bem, como eu escrevi no post sobre mim (Conrado), eu organizo o seminário de Teoria de Lie aqui no IMECC e mantenho um blog contendo as últimas novidades, incluindo datas, resumos e apresentações. O endereço é o seguinte: seminariolie.wordpress.com.

Os seminários ocorrem às sextas à tarde e quem estiver interessado em apresentar algo entre em contato comigo.

Também gostaria de pedir a quem administra este blog aqui para colocar um link em alguma barra lateral para facilitar a vida de quem anda perdido pela internet. (Já coloquei um no blog do seminário direcionando para cá.)

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