Extensões Centrais em Física.

março 20, 2013

Tropecei neste artigo esses dias, tentando entender grupos de laços. Nele, os autores discutem como extensões centrais de grupos e álgebras de Lie (em particular, recobrimentos universais), aparecem na Física. Vale dar uma olhada!

http://math.univ-lille1.fr/~gmt/PaperFolder/CentralExtensions.pdf

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Escrito por Conrado

Variedades Flag de Posto Um São Esferas.

março 4, 2013

Da série “Entendendo a Tese do Lonardo”.

Teorema. Seja G um grupos de Lie semissimples cuja álgebra de Lie \mathfrak g tem posto real um, e tomemos P\subseteq G um subgrupo parabólico (único a menos de conjugação). Então, a variedade flag G/P é difeomorfa a \mathbb S^n, em que n =\dim (\mathfrak g_\alpha\oplus\mathfrak g_{2\alpha}) e \alpha é raiz simples.

Demonstração. Em geral, \mathfrak g=\mathfrak n^-\oplus\mathfrak m\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n^+ e \mathfrak p=\mathfrak m\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n^+, de modo que \dim(G/P)=\dim \mathfrak n^-=\dim\mathfrak n^+. Como o posto real de \mathfrak g é um, temos \mathfrak n^+=\mathfrak g_\alpha\oplus\mathfrak g_{2\alpha}. Resta provar que G/P é uma esfera.

Para tanto, lembramos que G/P é difeomorfo a K/M, em que G=KAN e P=MAN são as decomposições de Iwasawa, e que K/M é equivalente, como K-espaço homogêneo, à órbita de um elemento regular H\in\mathfrak s por \mathrm{Ad}(K). A hipótese do posto real de \mathfrak g ser um implica duas coisas: (i) para H\in\mathfrak s ser regular basta H\neq 0, e (ii) existe uma correspondência 1-1 entre elementos regulares de \mathfrak s e subespaços abelianos maximais pela relação \mathfrak a = \mathbb R H.

Escolhamos, então, um vetor H\in\mathfrak s tal que ||H||^2 = B(H,H)=1 (B é forma de Cartan-Killing de \mathfrak g, que é um produto interno quando restrita a \mathfrak s) e ponhamos \mathfrak a:=\mathbb R H. Como \mathrm{Ad}(K) preserva B, então \mathrm{Ad}(K)H\subseteq \mathbb S_1(\mathfrak s). Reciprocamente, se H'\in\mathbb S_1(\mathfrak s) e \mathfrak a': =\mathbb R H', então existe k\in K tal que \mathrm{Ad}(k)\mathfrak a = \mathfrak a', isto é, \mathrm{Ad}(k)H=\pm H'. Como todo elemento do grupo de Weyl admite representante em K via \mathrm{Ad}, concluimos que \mathrm{Ad}(k')H=H' para algum k'\in K, ou seja, que H'\in\mathrm{Ad}(K)H. Isto prova que G/P=K/M=\mathrm{Ad}(K)H = \mathbb S_1(\mathfrak s). \square

Aqui usamos a restrição para o K. Tem como construir diretamente uma ação transitiva de G numa esfera com isotropia P?

1 Comentário | Topologia de Flags | Link Permanente
Escrito por Conrado

EDOs lineares de coeficientes constantes via Álgebra Linear

dezembro 26, 2012

Sempre ouvi falar que a solução de EDOs lineares homogêneas de coeficientes constantes bem como o Método dos Coeficientes a Determinar pode ser feita como aplicação de ferramentas de Álgebra Linear.

Como não achei isso feito explicitamente, escrevi essas notas disponíveis clicando aqui.  Achei bem interessante ver que todos os casos acabam sendo reduzidos aos casos

y^{(n)} = 0 ou y^{(n)} = polinômio,

que tem solução geral polinomial :D  Gostei especialmente da demonstração dos Coeficientes a Determinar no caso em que o termo não-homogêneo é um polinômio.

Alguém sabe onde isso é feito explicitamente? Eu achei algumas coisas dispersas na Internet aqui e aqui mas elas escondem a Álgebra Linear.

Do jeito que está acho que algumas coisas daqui podem ser usadas como exercícios para um curso de Álgebra Linear.  Acho que algumas coisas também podem ser adaptadas para um curso de EDO para uma turma mais interessada, como é feito nos links da Internet que pus no parágrafo anterior.

Correções, comentários e contribuições são sempre bem-vindos!

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Escrito por Lucas Seco

União de subespaços vetoriais.

agosto 31, 2012

O objetivo desse post é demonstrar o seguinte resultado de Álgebra Linear, que usamos o tempo todo mas que frequentemente não paramos para provar.

Teorema: Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo infinito \mathbb K e tome V_1,\dots, V_n\subseteq V subespaços vetoriais. Então, V_1\cup\cdots\cup V_n é um subespaço de V se, e só se, um dos V_i‘s contém todos os outros.

Antes de prová-lo, vejamos a consequência do Teorema que nos interessa.

Corolário: Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo infinito \mathbb K e tome f_1,\dots,f_n\in V^* não nulos. Então, existe v\in V tal que f_i(v)\neq 0 para todo i=1,\dots,n.

(Uma versão desse resultado é um exercício do Hoffman-Kunze.)

Para provar esse Corolário, consideramos os subespaços V_i:=\ker f_i. É preciso mostrar que V_1\cup\cdots\cup V_n\subsetneq V, e fazemos isso supondo o contrário. Então, V_1\cup\cdots\cup V_n = V é um subespaço vetorial de V, e pelo Teorema isso significa que, para algum V_i, V_i\supseteq V_j para todo j=1,\dots,n. Portanto, V=V_1\cup\cdots\cup V_n=V_i=\ker f_i, ou seja, f_i=0. Como supomos cada f_j\neq0, obtemos um absurdo.

(Para quem não sabe, a gente usa esse Corolário para produzir elementos regulares e completamente regulares em álgebras de Lie semissimples. No primeiro caso, os funcionais considerados são as raízes, e no segundo as diferenças entre elas.)

Demonstração do Teorema: (\Leftarrow) Imediato. (\Rightarrow) Se V_i\subseteq V_1\cup\cdots\cup\widehat{V_i}\cup\cdots\cup V_n para algum i, então podemos excluir o subespaço V_i da lista pois ele não contribui para a união V_1\cup\cdots\cup V_n. Logo, podemos supor, sem perda de generalidade, que V_1\nsubseteq V_2\cup\cdots\cup V_n. Vamos provar que V_i\subseteq V_1 para todo i. Seja v_0\in V_1\backslash(V_2\cup\cdots\cup V_n), e tomemos v\in V_2\cup\cdots\cup V_n qualquer. Como V_1\cup\cdots\cup V_n é subespaço e u_0,v\in V_1\cup\cdots\cup V_n, então ku_0+v\in V_1\cup\cdots\cup V_n para todo k\in\mathbb K. Logo, para cada k, ou kv_0+v\in V_1 ou kv_0+v\in V_2\cup\cdots\cup V_n.

\vdash k_0v_0+v\in V_1 para algum k_0\in\mathbb K.

Como v_0\notin V_2\cup\cdots\cup V_n, então para cada 2\leq i\leq n podemos escolher f_i\in V_i^0 tal que f_i(v_0)\neq 0, em que W^0:=\{f\in V^*:\forall w\in W,\, f(w)=0\} para cada W\subseteq V. (Isso porque \dim_\mathbb K V<\infty.) Consideremos o polinômio p(k)=\prod_{i=2}^n f_i(kv_0+v) = \prod_{i=2}^n \big(f_i(v_0)k+f_i(v)\big), e notemos que seu termo dominante é \left[\prod_{i=2}^n f_i(v_0)\right]k^{n-1}\neq 0. Com isso, p é não nulo de grau n-1, e portanto possui uma quantidade finita de raízes. Como \mathbb K é infinito, segue que existe k_0\in\mathbb K tal que p(k_0)\neq 0, i.e., tal que f_i(k_0v_0+v)\neq0 para todo 2\leq i\leq n, i.e., tal que k_0v_0+v\notin V_2\cup\cdots\cup V_n. Portanto, k_0v_0+v\in V_1. \dashv

Por fim, como v_0\in V_1 e k_0v_0+v\in V_1, temos v\in V_1. QED

(No caso em que \mathbb K é algebricamente fechado, dá para fazer uma demonstração bem curtinha desse Teorema usando a noção de redutibilidade de uma variedade algébrica. Mas isso envolve o Nullstellensatz e, honestamente, é usar canhão para matar mosca.)

Considerações finais.

  1. Obtive essa prova tentando emular a demonstração, mais simples, do caso n=2 (que também vale para corpos finitos). Nessa situação, V_2\cup\cdots\cup V_n=V_2 é um subespaço e o argumento envolvendo polinômios é desnecessário: se v_0\in V_1\backslash V_2 e v\in V_2, então v_0+v\in V_2 implica v_0=(v_0+v)-v\in V_2 e obtemos imediatamente que v_0+v\in V_1. Por outro lado, quando tentamos generalizar isso para n\geq3, esbarramos no problema que, em geral, V_2\cup\cdots\cup V_n não é subespaço, e v_0=(v_0+v)-v pode não estar em V_2\cup\cdots\cup V_n (e frequentemente este é o caso).
  2. Como contraexemplo, temos o espaço vetorial V=\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2 sobre (o corpo finito) \mathbb Z_2. Tomando V_1=\{0;(1,0)\}, V_2=\{0;(1,1)\} e V_3=\{0;(0,1)\}, é imediato que V_1,V_2,V_3 são subespaços e que V=V_1\cup V_2\cup V_3.
  3. Para provar o Corolário diretamente, procede-se de maneira análoga à demonstração do Teorema, mas a passagem com anuladores não é necessária, o que faz com que o Corolário valha mesmo que \dim V=\infty.

Quem tiver correções ou comentários, é só postar um comentário abaixo. :P

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Escrito por Conrado

Seminário de Teoria de Lie

agosto 21, 2012

Bem, como eu escrevi no post sobre mim (Conrado), eu organizo o seminário de Teoria de Lie aqui no IMECC e mantenho um blog contendo as últimas novidades, incluindo datas, resumos e apresentações. O endereço é o seguinte: seminariolie.wordpress.com.

Os seminários ocorrem às sextas à tarde e quem estiver interessado em apresentar algo entre em contato comigo.

Também gostaria de pedir a quem administra este blog aqui para colocar um link em alguma barra lateral para facilitar a vida de quem anda perdido pela internet. (Já coloquei um no blog do seminário direcionando para cá.)

Falou!

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Escrito por Conrado

Conexidade da Compactificação de Um Ponto/Alexandroff

agosto 20, 2012

Todos vemos no curso de topologia que pode-se acrescentar um ponto a qualquer espaço topológico não compacto X para torná-lo compacto (a tal compactificação de um ponto, ou de Alexandroff, que denotaremos por X^*). Admitindo que X é de Hausdorff e localmente compacto, tem-se que X^* também possui essas propriedades. Além disso, uma vez que X acaba sendo um subespaço denso de X^*, tem-se adicionalmente que X^* é conexo sempre que X o for. (A recíproca dessa última afirmação não é verdadeira: se X é a união de dois discos fechados que se tangenciam num ponto, menos esse ponto de tangência, então X é desconexo apesar de X^* ser conexo.)

A questão que eu gostaria de levantar é a seguinte: quais condições sobre X garantem que X^* é conexo por caminhos? Sem enrolar muito, o critério que encontrei é o seguinte:

Proposição: Se X é um espaço topológico de Hausdorff não compacto, localmente compacto, conexo por caminhos e \sigma-compacto, então X^* é conexo por caminhos.

Dem.: Seja \{K_n:n\in\mathbb N\} uma família de subespaços compactos de X tal que K_n\subseteq K_{n+1} e X = \bigcup_{n\in\mathbb N} K_n. Dado x\in X, precisa-se mostrar que existe uma curva contínua \tilde\gamma:[0,1]\to X^* tal que \tilde\gamma(0) = x e \tilde\gamma(1) = \infty, em que X^* = X\cup\{\infty\}. Pode-se supor, sem perda de generalidade, que x\in K_0. Deste modo, seja (x_n)_{n\in\mathbb N} uma sequência de pontos de X tal que x_0 = x e x_n\in K_n\backslash K_{n-1} para n>0. Pela definição da topologia de X^* tem-se x_n\to\infty. Como X é conexo por caminhos, para cada n existe uma curva \gamma_n:[n,n+1]\to X\subseteq X^* satisfazendo \gamma_n(n) = x_n e \gamma_n(n+1) = x_{n+1}. Usando que [0,+\infty) é homeomorfo a [0,1) por uma função crescente (e.g. f(t) = \frac{t}{1-t}, 0\leq t<1), produz-se uma curva \gamma:[0,1)\to X e uma sequência de pontos (t_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq [0,1) satisfazendo t_n<t_{n+1}, t_n\to1 e \gamma(t_n) = x_n. A curva \tilde\gamma definida por \tilde\gamma(t) = \gamma(t) para t\in[0,1) e \tilde\gamma(1) = \infty satisfaz as condições desejadas. QED

Então, X ser \sigma-compacto é suficiente, e desconfio que também é necessário, mas não consegui encontrar um exemplo que mostrasse isso. Se alguém achar, posta um comentário aí.

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Escrito por Conrado

Motivando o determinante de matrizes 3×3

agosto 17, 2012

Olá pessoal,

Pensando numa explicação razoável de determinantes para estudantes de ensino médio, procurei em alguns livros de ensino médio e na internet uma motivação para a definição do determinante de matriezes 3×3 e… Não achei!

Vocês conhecem alguma motivação?

Eu escrevi uma nesse rascunho aqui: Determinante 3×3

Quem se interessar, sugira (e critique) à vontade nos Comentários para melhorarmos o rascunho! :)

10 Comentários | Ensino médio | Link Permanente
Escrito por Lucas Seco

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