Topologia de flags I: grupos de homotopia

Não sei se existe na literatura uma descrição dos grupos de homotopia das variedades flag.
Alguns casos eu consigo ver, usando resultados conhecidos e poucos recursos, como a sequência exata de fibração.
Por exemplo, um flag maximal associado a um grupo complexo é o quociente U/T de um grupo compacto U por um toro T. Dos grupos de homotopia do toro só tem o grupo fundamental \pi_1, os outros são triviais (isso porque uma aplicação de recobrimento induz isomorfismo nos grupos de homotopia de 2 em diante e R^n é contrátil). Então, na sequência exata

\pi_n (toro T) —> \pi_n (grupo U) —> \pi_n (flag)

o primeiro termo desaparece a partir de n = 2, o que implica que a partir de n = 3 os grupos de homotopia dos flags são isomorfos aos grupos de homotopia do grupo. (Os casos n = 1 e n = 2 podem ser tratados separadamente.) Por outro lado, para os grupos compactos clássicos (SU(k), SO(k) e Sp(k)) os seus grupos de homotopia \pi_n são conhecidos, desde que n seja bem menor que k (tem gente que gosta de chamar isso de homotopia estável, porque eles são na verdade os grupos de homotopia dos grupos infinitos). Isso é o resultado do teorema de periodicidade de Bott (que pode ser encontrado, por exemplo, no livro Husemoller, Fibre Bundles).
Ainda com os flag maximais, dá para tratar também dos grupos que são formas reais normais, isto é, em que o posto real coincide com o posto (os clássicos são Sl(n,R), SO(p,p+1), Sp(n,R) e SO(p,p)).
Nesses casos o flag maximal é o quociente K/M de um grupo compacto K por um grupo finito M. Portanto a projeção K —> K/M é um recobrimento, que induz isomorfismo nos grupos de homotopia a partir de n = 2 (vou comentar depois sobre o grupo fundamental \pi_1 dos flags em geral).
Para os outros flags maximais o grupo M pode não ser toro e certamente não é discreto.
Outro caso que admite um tratamento semelhante é o dos flags de subespaços de R^n ou C^n de dimensões 1,2,…,k com k<n, isto é, F(1,2,…,k), real ou complexo. O que acontece aqui é a variedade de Stiefel St_k (seus elementos são os conjuntos de k vetores l.i) fibra sobre F(1,…,k), sendo que a fibra é um toro no caso complexo e é discreta no caso real. Além do mais, a homotopia estável de St_k (isto é, \pi_m com m pequeno em relação a n-k) é zero (isso também pode ser encontrado no livro do Husemoller. Aliás é essa propriedade de St_k que faz com que os fibrados de Stiefel sejam universais.)  Portanto, F(1,2,…,k) tem homotopia (estável) trivial. Talvez seja possível obter informações sobre os grupos de homotopia de outros flags, via a sequência exata de fibração. Em todo caso tem que ser alguma coisa tipo homotopia estável. O cálculo do grupos de homotopia, com toda generalidade, é muito dificil, mesmo para a esfera.

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