“Sempre existe uma trivialização mensurável de um fibrado principal”

Eu já havia lido essa afirmação do título algumas vezes mas nunca tinha visto um enunciado claro disso, uma prova ou mesmo uma referência para uma prova. Ontem finalmente vi num livro um esboço de argumento (atribuído ao Ruelle) que prova isso. O argumento é bem trivial, mas como eu não sabia dele estou escrevendo para compartilhá-lo com vocês.

Considere um G-fibrado principal localmente trivial

\pi: Q \to B

onde G é um grupo topológico e B um espaço topológico.  Em B e Q considere a \sigma-álgebra dos borelianos.

Proposição: Se a base B é Lindelöf (toda cobertura de abertos admite subcobertura enumerável) então existe uma seção \chi: B \to Q que é Borel-mensurável.

Demonstração: Seja U_i \subset B uma cobertura trivializante de Q, com seções contínuas \chi_i: U_i \to Q.  Como B é Lindelöf podemos supor, extraindo uma subcobertura, que essa cobertura trivializante é enumerável, i = 1,2,\ldots.  Considere A_1 =U_1 e

A_i = U_i \backslash \bigcup_{j < i} U_j \qquad (i>1).

Então os A_i, \, i=1,2,\ldots são borelianos disjuntos que cobrem B.  Defina \chi: B \to Q por

\chi(b) = \chi_i(b),\qquad b \in A_i,

que é claramente uma seção bem definida de Q.  Afirmamos que \chi é Borel-mensurável.  De fato, seja C um boreliano de Q, então

\chi^{-1}(C) = \bigcup_{i \geq 1}  \chi^{-1}(C) \cap A_i.

Usando que \pi(\chi(b)) = b segue que

\chi^{-1}(C) \cap A_i = \chi^{-1}(C \cap \pi^{-1}(A_i) ) = \chi_i^{-1}(C \cap \pi^{-1}(A_i) )

é um boreliano, uma vez que \chi_i, \pi são contínuas.  Uma vez que \chi^{-1}(C) é reunião enumerável de borelianos, segue o afirmado. \square

Essa seção Borel-mensurável nos dá a trivialização

B \times G \to Q,\qquad (b,g) \mapsto \chi(b)g

que é uma bijeção Borel-mensurável que comuta com a ação de G.  Para verificar que ela é Borel-mensurável basta observar que, considerando a partição A_i de B da demonstração acima, em \pi^{-1}(A_i) a trivialização é dada por

A_i \times G \to \pi^{-1}(A_i),\qquad (b,g) \mapsto \chi_i(b)g

que é um homemorfismo.

Observação: Se B é um espaço métrico, então ele é  Lindelöf se, e somente se, é second-countable, se, e somente se, é separável.

7 respostas para “Sempre existe uma trivialização mensurável de um fibrado principal”

  1. lucasseco disse:

    O meu interesse nisso é para estudar propriedades ergódicas de ações de fluxos de automorfimos do fibrado Q.

  2. ferraiol disse:

    Legal esse resultado, Lucas…

    É legal notar que a construção da seção não exige que o fibrado seja principal. Em nenhum momento foi usado a ação de G. Logo, qualquer fibrado localmente trivial admite uma seção global mensuravel.

    Mais ainda, esse resultado pode ser refinado um pouco escolhendo essa seção como sendo contínua num conjunto de medida total. Talvez isso ajude!

    A demonstração desse refinamento segue os mesmos passos da demonstração que você postou. Basta que, ao escolher a cobertura trivializante, tome o cuidado de escolhê-la com abertos cuja fronteira tenha medida nula (para isso precisa da hipótese da medida ser, pelo menos, sigma-finita).

  3. luizsanmartin disse:

    Tenho dois comentários. O primeiro é que a seção mensurável é definida em toda a base, ao contrário do que eu pensava que seria definida em um conjunto de medida total em relação a uma medida previamente dada na base.

    O comentário do Thiago vai nessa direção. Fixando uma medida a seção fica sendo contínua, a menos de um conjunto de medida nula. Aliás, faço a pergunta para o Thiago: é sempre possível escolher cobertura trivializante cujas fronteiras têm medida nula? Como se vê isso (mesmo assumindo que a medida é sigma-finita, o que é perfeitamente natural).

    Luiz

  4. luizsanmartin disse:

    Lucas, como foi que você fez esse post com fórmulas? Qual o editor que você usou?

  5. ferraiol disse:

    Para fazer a escolha de abertos trivializantes com fronteira de medida nula eu acho que precisa de alguma hipótese sobre a base B. Se B for espaço métrico já dá pra fazer.

    Para isso, precisamos observar que se S(x,r) denota a fronteira da Bola B(x,r), então podemos escolher um raio r’, suficientemente próximo de r, tal que S(x,r’) tenha medida nula. Isso segue do fato que nem todos os S(x,r’) com r-e<r’0 é qualquer valor pequeno, tem medida positiva, já que a medida é sigma-finita e temos uma quantidade não-enumerável de S(x,r’).

    A partir daí tomamos uma cobertura trivializante enumerável U_i = B(x_i,r_i) por bolas com fronteira de medida nula. Em seguida denifimos A_i = U_i – \cup_{j<i} fe(U_j). Agora esses A_i serão abertos disjuntos com fronteira de medida nula, cobrem B a menos de medida nula e cada um dos A_i tem uma seção contínua.

  6. ferraiol disse:

    ai… não fiquei louco! Algum editor do blog não entende, rs! Vou tentar dando espaços pra ver se vai!

    o certo é “com r-e < r’ 0 é qualquer valor pequeno”

  7. lucasseco disse:

    Para postar com fórmulas do LaTeX aqui no blog dêem uma olhada em

    http://support.wordpress.com/latex/

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