Pendência 1/FIBONACCI

Como vocês, Pré-PIC’s, estão tímidos na utilização deste blog, resolvi, eu, incentivar o uso. O Henrique disse que as discussões devem ser motivadas por questões.  Eu vou propor as questões para os encontros aqui. 🙂

Mas, aqui, eu vou colocar a questão antiga que eu propus para vocês e ainda não fizeram… Quem conseguiu, ou tem uma idéia,  comente aqui.🙂

A questão é simples: E=\left\{(u_n)\in\mathbb{R}^\infty : u_{n+2}= u_{n+1}+u_n\right\} é o conjunto das seqüências de Fibonacci. Eu quero que provem que é um subespaço vetorial (acho que de \mathbb{R}^{\infty}), ou mostre que é um espaço vetorial…

Depois, mostre que tem dimensão 2 (eu dei o bizu de usar o teorema do núcleo e da imagem (aplicando a alguma transformação que vcs construam).

Bom, com essas coisinhas, temos uma ferramenta muito interessante para encontrar a fórmula geral da seqüência de fibonacci padrão, pois ter dimensão 2 significa que precisamos apenas de 2 seq’s linearmente independentes para gerar qualquer seqüência que queiramos. E, se conhecermos bem essas seqüências (que iremos adotar para base), então conheceremos bem sobre qualquer seq de fibonacci.

Bom, vamos só até aqui por enquanto. Iremos prosseguir com isso com o decorrer do assunto (de acordo com a carga teórica que formos obtendo).

GENERALIZAÇÃO DA IDÉIA:

Essa generalização parece um tanto tosca, mas, por enquanto, vamos ficar com ela. Ela tem certas propriedades (coincidentes com a de Fibonacci) que nos servirão bem (pois tem a ver com algumas coisas que veremos).
Sejam as seqüências reais do tipo (u_n) em que u_{n+2}=u_n +k u_{n+1}, onde k é um real fixo. Fazer as mesmas coisas para o espaço dessas seqüências (ou seja, provem que é um subespaço vetorial e que tem dimensão 2).

Bom, vou colocar uma questão em cada post (para ficarem bem organizadas e separadas).

Até

7 respostas para Pendência 1/FIBONACCI

  1. henriquerivera disse:

    Essa sua notação para o conjunto E seria mais facilmente entendida por :
    E:\left\{(u_1, u_2,...) \in\ R^\infty : u_{n+2} = u_{n+1} + u_n \right\}

    Eu sei que é a mesma coisa, mas prefiro a minha representação.

    Bom, minha idéia é usar indução:
    Suponha dois vetores pertencentes a E

    u = (u_{1}, u_{2}, ..., u_{k}, u_{k+1}, u_{k+2}, ...)
    v= (v_{1}, v_{2}, ..., v_{k}, v_{k+1}, v_{k+2}, ...)

    então w = (w_{1}, w_{2}, ..., w_{k}, w_{k+1}, w_{k+2}, ...) = u+v = (u_{1}+v_{1}, u_{2}+v_{2}, ..., u_{k}+v_{k}, u_{k+1}+v_{k+1}, u_{k+2}+v_{k+2}, ...)

    Supõe-se que u_{k}+v_{k} e u_{k+1}+v_{k+1} são iguais a, respectivamente, w_{k} e w_{k+1}, o que dá
    w_{k+2} = u_{k+2}+v_{k+2} = (u_{k}+u_{k+1}) + (v_{k}+v_{k+1}) = (u_{k}+v_{k}) + (u_{k+1}+v_{k+1}) = w_{k+1} + w_{k}

    Ambas as sequências u e v começam a ter seus termos dados pela relação de recorrência a partir do terceiro termo (precisamos, assim, de dois números iniciais para definir completamente os vetores, o que nos dá uma dica intuitiva de que a dimensão do “espaço” é 2)

    Para completar a indução, vemos que
    w_3 = u_3 + v_3= (u_2+u_1) + (v_2+v_1) = (u_1+v_1) + (u_2+v_2) = w_1 + w_2
    e
    w_4 = u_4 + v_4= (u_3+u_2) + (v_3+v_2) = (u_2+v_2) + (u_3+v_3) = w_2 + w_3

    Portanto, provamos que a soma pertence a E
    Para completar a demonstração de que E é de fato um espaço, devemos mostrar que o vetor b = \alpha\ \cdot v também pertence a E, na hipótese de que v\in\ E.

    b = (\alpha\ \cdot v)= (\alpha\ \cdot v_{1} ,  \alpha\ \cdot v_{2} , ... , \alpha\ \cdot v_{k} ,  \alpha\ \cdot v_{k+1} ,  \alpha\ \cdot v_{k+2} , ... ) = \alpha\ \cdot (v_{1}, v_{2}, ..., v_{k}, v_{k+1}, v_{k+2}, ...)  \in\ E

    Está provado que E é um espaço vetorial (Fernando, dê seu feedback)

    • Lucatelli disse:

      Oi Henrique!!

      Desculpe a demora!🙂

      Bom, a primeira etapa está correta. 😀
      Mas acho que você complicou um pouco para demonstrar a primeira etapa (apesar de estar correta). E não entendi direito a segunda etapa.

      O que acontece é que você pode usar o termo geral para provar que a coisa vale para todo n . (não precisa usar indução para isso)

      Olha só:
      w_n = v_n + u_n , por definição; correto?

      Pois bem, segue que
      w_{n+2}= v_{n+2} + u_{n+2}
      = v_{n+1}+v_n + u_{n+1}+u_n
      = (v_{n+1} + u_{n+1} ) + (v_n + u_n )
      = w_{n+1} + w_n .

      Isso completa a prova de que (w_n) é, de fato, de Fibonacci! =D😀😀😀😀

      A segunda etapa eu não entendi!😦 Vc deveria provar que \alpha v é de Fibonacci. Mas, para isso, você poderia usar o seguinte:
      v_{n+2}=v_{n+1} + v_n
      logo
      \alpha v_{n+2} = \alpha v_{n+1} + \alpha v_n

      Isso provou que \alpha v = ( \alpha v_n ) é, de fato, uma seq de fibonacci (pertence a E ).😀

      FALOU

      Abraço

    • Lucatelli disse:

      Essa parte da indução ficou bem emboladinha mesmo. Não precisa de usar indução porque vc consegue provar para o caso geral igual n (sem supor que é verdadeiro para n-1 .

      Usa-se indução quando a sua afirmação para n depende do n-1 (e assim vai até o 1 ). Daí a veracidade para 1 implica na veracidade de 2 (e assim vai até n).

      Para demonstrar por indução, você deve supor verdadeiro para n e provar que isso implica a veracidade para n+1

      Note que vc provou o que queria na 13ª linha sem hipóteses de indução (pois não teve que supor nada sobre k (além de ser natural)).

      Outra coisa que eu queria dizer, temos, POR DEFINIÇÃO, que,
      w=u+v quer dizer w_n=u_n + v_n
      Vc disse em “supo isso”. Não entendi o que quis dizer com isso!😀

      Note que você poderia definir a soma entre as seqüências de maneira diferente. Mas, então, as coisas poderiam perder as propriedades que tem (por exemplo, tudo pode deixar de ser um espaço vetorial, o E pode deixar de ser um subespaço (ou coisa assim))…

      BOM, MASSA!😀😀

      Depois fla aí se entendeu (os dois comentários)

      ABRAÇÃO

  2. henriquerivera disse:

    Queremos demonstrar (também) que a dimensão desse espaço E é 2.

    Enunciemos o teorema do núcleo e da imagem:

    Sejam E e F espaços vetoriais de dimensão finita. Para toda transformação linear A:E \rightarrow F tem-se dim E = dim N(A)+ dim Im(A)

    O núcleo da transformação linear A:E \rightarrow F é o conjunto dos vetores v\in E\ : Av = 0

    A imagem, por sua vez, é o subconjunto Im(A) \subset F dos vetores w = Av \in\ F que são imagens de elementos de E pela transformação A

  3. thiagorl disse:

    Bom, então o fernando e o henrique ja provaram que \mathbb{E} é um espaço vetorial,eu tenho uma possível demonstração de que dimensão de \mathbb{E} =2 usando a dica do fernando de usar o teorema do nucelo e imagem.
    Definindo a transformação T:E \to \mathbb{R}^2 com T(Un)=(u_1,u_2), temos que T se trata de uma transformação linear. De fato, temos que:
    sejam Un e Vn duas sequências quaisquer em \mathbb{E}
    T(Un+Vn)=T((U+V)n)=(u1+v1,u2+v2)=(u1,u2)+(v1,v2)=T(Vn)+T(Un)
    e
    T(\alphaxUn)=T((\alphaU)n)=\alphaxu1,\alphaxu2)=\alpha(u1,u2)=\alphaT(Un)
    Assim temos pelo teorema enunciado pleo Henrique acima que dim( \mathbb{E} )=dim(\mathbb{R} ^2)+dim( N(\mathbb{E} )).Agora se provarmos que dim(N(\mathbb{E} ))=0( e como já sabemos que dim(\mathbb{R} latex^2)=2 ) teremos terminado a demonstração.Mas temos que se T(Un)=(0,0), então (u1,u2)=0,0,i.e, u1=u2=0 e é fácil provar que N(\mathbb{E})={0} tendo portanto dim(N(\mathbb{E}))=0.logo como havíamos dito Dim(\mathbb{E})=2.

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