Pendência 2/Espaço (R,Q)

Nós discutimos sobre uma coisa que o Elon não deixa muito claro: o conjunto dos escalares pode ser qualquer corpo… E é interessante notar que um espaço vetorial não está inteiramente determinado pelo conjunto dos vetores… ele precisa de três coisas para estar determinado:

1)Conjunto de Vetores

2)Corpo dos escalares

3) As definições das operações (satisfazendo os axiomas).

Então, por exemplo, o espaço de (\mathbb{C},\mathbb{R}) tem dimensão 2, enquanto (\mathbb{C},\mathbb{C}) tem dimensão 1. São espaços vetoriais completamente diferentes…

Bom, a outra questão que ficou sem ser resolvida foi a questão:

Calcular e demonstrar qual a dimensão de (\mathbb{R} ,\mathbb{Q} ).

Eu já falei que é infinito e já dei uma dica para demonstrar.🙂

Parece que o Thiago já resolveu.🙂 Eu conheço duas resoluções/demonstrações. Thiago, expõe sua resolução aí!🙂 Daí, quando o Henrique conseguir, ele coloca a dele… fazemos as comparações e eu apresento as duas que eu conheço (uma que eu conheço é parecida com a que o Thiago me esboçou)

Apesar de que iremos trabalhar apenas com espaços vetoriais sobre \mathbb{R},  coloquei essa questão para vocês apenas para que conheçam o fato (e abrir a discussão sobre isso). O Elon peca, ao meu ver, não deixando isso claro nas primeiras páginas, no entanto, acho que ele avisa o leitor disso no prefácio…

Até

10 respostas para Pendência 2/Espaço (R,Q)

  1. Lucatelli disse:

    Oi!😀
    Bom, o Thiago pediiu que eu deixasse a “segunda” demonstração disso aqui!
    Mas eu reforço que a idéia era que você colocasse a sua antes aqui.

    Eu vou colocar bem rápido e sem demonstrar passos (só as idéias).

    Sabe o que é número transcendente? Se não sabe, veja na internet: http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number

    A primeira pergunta é: EXISTE NÚMERO REAL TRANSCENDENTE(AL)?

    Evidente que existe número algébrico real (verifique!).

    Esse primeiro passo consiste em responder a pergunta (positivamente) e demonstrar isso.
    Para demonstrar isso, basta você demonstrar que o conjunto dos números algébricos reais é enumerável.
    Oras! Como o conjunto dos Reais é nao-enumerável, segue que o complementar do conjunto dos números algébricos reais (dentro dos reais) é não vazio (melhor ainda, é não-enumerável).
    Você acabou de completar a prova da existência de números transcendentes reais…😀

    Segundo passo:
    Supõe-se por absurdo que o espaço vetorial em questão (ou seja, o ( \mathbb{R} , \mathbb{Q} ) ) tem dimensão N . Por o espaço vetorial ter dimensão N segue que qualquer conjunto de N+1 vetores é LD.
    Tome um número transcendente t\in\mathbb{R} (cuja existência você já provou). Segue que 1,t,t^2,... t^n é LD. Ou seja, existe a_0,... , a_n\in\mathbb{Q} não todos nulos que satisfazem
    \sum_{i=0}^n a_i t^i = 0 .

    Isso quer dizer que t é raiz do polinômio P(x)= \sum_{i=0}^n a_i x^i (que é um polinômio racional). ABSURDO!
    Segue que a dimensão de ( \mathbb{R} , \mathbb{Q} ) não pode ser finita.

    QED

    • andrecaldas disse:

      Acho que é mais fácil e direto sem esse argumento de número transcendental. Suponha que (\mathbb{R}, \mathbb{Q}) tem dimensão N. Então existe uma bijeção entre \mathbb{R} e \mathbb{Q}^N, que é enumerável.

      O fato que você provou, que toda extensão finitamente gerada é algébrica se, e somente se, for uma extensão finita, também é interessante.🙂

      André Caldas.

      • Lucatelli disse:

        Ah!
        Você comentou comigo no departamento! =) Legal!🙂 hehe

        Eu coloquei o argumento como originalmente surgiu na minha cabeça!

        A demonstração do Thiago era, praticamente, como você falou (pulando direto para o fato de não existir uma bijeção \mathbb{Q}^N e \mathbb{R} ! =) (bijeção essa que deveria existir se a dimensão fosse N, pois associaria cada vetor de \mathbb{R} às suas coordenadas))
        Mas é que eu achei bonitinho essa demonstração (por envolver conceitos (como números transcedentes e tal)). Fora isso, como eu disse, foi o que me surgiu da primeira vez que tentei resolver o problema! (mas, pensando agora, realmente ficou meio dando voltas: um canhão para uma formiga heheheehehe)

        Obrigadão, André,

        Abraço,

        Fernando

      • andrecaldas disse:

        Só o que eu tava incomodado, é que a demonstração da existência de números transcendentais envolve demonstrar que o conjunto dos polinômios sobre os racionais é um espaço vetorial sobre os racionais com base enumerável x^0, \dotsc, x^n, \dotsc e é portanto enumerável. Mas essa é essencialmente a demonstração de que os reais não tem base enumerável sobre os racionais!

        Ou seja, pra demonstrar a existência de transcendentais você acaba demonstrando um pouco mais que a afirmação do post!

        André Caldas.

      • Lucatelli disse:

        ehehehe!
        É! =)
        Entendi!

        Eu entendi o incômodo também! =P

        Abraço =)

  2. thiagorl disse:

    pois é andré eu tinha feito uma demonstração de uma bijeção de partes finitas de \mathbb{Q} em \mathbb{R} e ( como partes finitas de \mathbb{Q} é enumeravel ) daí deduzido por absurdo que havia uma sobrejeção de \mathbb{N} em \mathbb{R} o que seria um absurdo. Mas aqui gente eu tenho uma duvida, eu seiq ue dois espaços de dimensão finita isomorfos(existe uma transformação bijetiva entre eles) tem a mesma dimensão, mas eu posso provar do mesmo jeito pra dimensões infinitas???ou sei lá existe alguma coisa analoga que eu possa usar? … bom valeu aí!!

    • Lucatelli disse:

      Como assim partes finitas de \mathbb{Q} sobre \mathbb{R} ? A cada parte finita, vc associaria o quê??

      • andrecaldas disse:

        Acho que ele tá falando da coleção de todos os subconjuntos finitos dos racionais. Não sei se dá pra fazer fácil, afinal de contas, a base é ordenada. Em termos de polinômios, por exemplo, \alpha + \beta t \neq \beta + \alpha t.

    • andrecaldas disse:

      Muuuito bom, Thiago!!

      Mas aqui gente eu tenho uma duvida, eu seiq ue dois espaços de dimensão finita isomorfos(existe uma transformação bijetiva entre eles) tem a mesma dimensão, mas eu posso provar do mesmo jeito pra dimensões infinitas???ou sei lá existe alguma coisa analoga que eu possa usar?

      Existe sim dizemos que dois conjuntos têm a mesma cardinalidade (em inglês) quando existe uma bijeção entre eles. Dá pra mostrar que duas bases para um mesmo espaço vetorial têm sempre a mesma cardinalidade. (em inglês)

      André Caldas.

    • andrecaldas disse:

      Ah… faltou eu comentar que se dois espaços sobre um mesmo corpo têm bases de mesma cardinalidade, ou seja, existe uma bijeção entre as bases, então existe um isomorfismo entre eles. Basta estender linearmente a bijeção entre as bases.

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