Produto interno/Norma/Semana 2

Norma de um espaço vetorial

Seja E um espaço vetorial. Uma norma em E é uma função \left\|\right\| : E\to \mathbb{R}  que satisfaz

1)u\neq 0\Rightarrow \left\|u\right\|\neq 0

2)\left\|\lambda u\right\|=\left|\lambda\right| \left\|u\right\|   (onde \lambda\in\mathbb{R} é escalar)

3)\left\|u+v\right\|\leq \left\|u\right\|+\left\|v\right\|

Ao munir um espaço vetorial de uma norma, você está, por exemplo, munindo esse espaço vetorial da noção de distância entre vetores: assim, a distância entre dois vetores u e v  fica sendo \left\|u-v\right\| (e a norma de um vetor é a distância do vetor à origem (vetor nulo) do espaço vetorial).

No livro do Elon, ele define o que é um produto interno. No entanto, ele não define norma… Na verdade, vc pode ter um espaço vetorial munido de uma norma (sem ter produto interno): esses espaços vetoriais são chamados “normados”.

Quando um espaço vetorial é munido de um produto interno, a norma que se torna natural para esse espaço vetorial é a norma do produto interno (que é a norma definida no livro). No livro, ele define norma como sendo aquilo… então não se tem muito o que provar. Porém o procedimento “correto” seria primeiro definir norma, depois definir produto interno e, então, provar que aquilo que ele define é, de fato, uma norma… Então isso é uma das coisas que eu proponho aqui.

Primeiramente, provem algumas coisas sobre a norma:

u\neq 0\Rightarrow \left\|u\right\|>0

u=0 se, e somente se, \left\|u\right\|=0

u\neq v\Rightarrow \left\|u-v\right\|>0

\left\|u\right\|=\left\|-u\right\|

\left\|u-v\right\|=\left\|v-u\right\|

\forall u,v,w\in E, \left\|u-w\right\|\leq \left\|u-v\right\|+\left\|v-w\right\|

Depois, prove o fato de que, se E é munido de produto interno, então o que foi definido no Elon como norma realmente é uma norma (satisfaz as três propriedades de norma).

Para lembrar o que foi definido:

\left\|u \right\|= \sqrt { \left\langle u,u \right\rangle }

Note que, para provar isso, talvez vocês tenham que provar a desigualdade de Cauchy-Schwartz (antes de ter provado de que aquilo é realmente uma norma).

Quando um espaço vetorial é munido de produto interno, a norma dessa espaço costuma ser a definida acima….

Bom,

até mais!

3 respostas para Produto interno/Norma/Semana 2

  1. andrecaldas disse:

    Faltou dizer que a norma é positiva.🙂

    • Lucatelli disse:

      Não! Não falta não, cara!
      Se não me engano, você prova isso!😀
      Olha só: é fácil ver que
      $\latex \left\|0\right\| = 0$
      Com a desigualdade triangular, segue que, dado u\neq 0 qualquer,
      $\latex \left\|1/2(-u)+1/2 u\right\|\leq \left\|1/2(-u)\right\| + \left\|1/2 u\right\|$
      Logo 0\leq \left\|u\right\| (isso passando os módulos do escalares para fora)

      Como u\neq 0, pelo primeiro axioma, segue que 0\neq\left\|u\right\|, portanto
      0 < \left\|u\right\|

      =)

Deixe uma resposta

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s

%d blogueiros gostam disto: