Observação/exposição sobre Polinômio característico e determinante

O que me motivou a escrever isso foi que percebi que, muitas vezes, as pessoas usam o polinômio característico da matriz de um operador linear para encontrar os autovalores, com aquele procedimento (do polinômio característico),  e, sem saber o porquê, eles conseguem o que querem. Outra coisa importante nesse post é familiarizar vcs (Thiago e Henrique) com o assunto ” determinante”.

Antes de falar sobre polinômio característico, vou fazer algumas observações sobre a função determinante com o objetivo de, apenas, lembrar um aspecto trivial do determinante. Essas observações serão breves e evitarei detalhes (já que não estamos trabalhando ainda em tal assunto).

Existe um teorema que dizer que se as linhas (ou colunas) são L.D, então o det da matriz é 0 . Esse teorema é bem conhecido e importante quando se vê determinantes pela primeira vez (seja no 2º grau, seja no curso de INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR).

Eu sei que vocês conhecem esse teorema (e que tem ele claro em mente). Mas não tenho tanta certeza de que saibam da veracidade da recíproca. Pois bem! A recíproca é verdadeira:

Se det de uma matriz é nula, então as colunas são LD.

Se det de uma matriz é nula, então as colunas são LD.

Bom, não demorarei aqui com discussões acerca das equivalências de definições sobre determinantes (e sobre a definição construtiva e a “não-construtiva”). Como eu disse, evitarei isso por ainda não estarmos nesse assunto. Mas vou esboçar uma demonstração do teorema partindo da definição que, para mim, parece a mais elegante. Essa postura não só evitará que vocês engulam o teorema como um enunciado de Deus, como também poderá contribuir para vcs já irem se familiarizando com certas linguagens (e esse, na verdade, é o principal motivo dessa exposição (se não fosse para familiarização com o assunto, essa exposição seria desnecessária))… Ah! E recomendo ao Henrique (e ao Thiago também caso ainda não tenha feito) ler o livro do Prof. : Shokranian. E, em especial, sobre isso no capítulo 7 do Livro Introdução à Álgebra Linear.

Antes de definir, vamos estabelecer certas linguagens:

Uma função B: V_1 \times \dotsb  \times V_m \to \mathbb{R}, onde V_i é espaço vetorial (\forall i),  diz-se linear em relação à n-ésima coordenada (ou n-ésima variável), se

B(u_1, \dotsc, k \cdot u_n, \dotsc, u_m) = k \cdot B(u_1, \dotsc, u_n, \dotsc, u_m)

e

B(u_1, \dotsc, v+ u_n, \dotsc, u_m) =   B\left( u_1,..., u_n, ..., u_m \right) + B \left( u_1, ..., v, ... , u_m \right)

Uma forma multilinear é uma função do tipo B: V_1 \times \dotsb  \times V_m \mapsto \mathbb{R}  tal que B é linear em relação a cada variável. Diz-se n-linear quando quer especificar que “a forma tem n variáveis”.

Sejam V um espaço vetorial e B: V_1 \times \dotsb  \times V_m \mapsto \mathbb{R} uma forma m-linear, onde V_i =V   (\forall i ). Diz-se que B é alternada quando:

B(u_1, \ldots , u_j , \ldots , u_i , \ldots , u_m ) = -B(u_1, \ldots , u_i , \ldots , u_j , \ldots , u_m )

Sejam M_n ( \mathbb {R} ) o conjunto das matrizes e \mathbb{R} ^n o espaço dos vetores coluna que formam essa matriz. Uma matriz pode ser considerada uma “n-upla” de vetores de \mathbb{R} ^n . Uma função determinante é uma forma n-linear no espaço dos vetores coluna \mathbb{R} ^n ,

det: \mathbb{R}^n \times \dotsb  \times \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R},

alternado e que satisfaz det (e_1, \ldots , e_n) = 1 (onde e_1, \ldots , e_n são os vetores canônicos ) .

No caso, (u_1, \ldots , u_n) representa a matriz de colunas u_1, \ldots , u_n dispostas nessa ordem…

e , então, det (e_1, \ldots , e_n) = 1 quer dizer que o determinante da matriz identidade é 1. Essa forma n-linear é, na verdade, uma função que tem domínio no conjunto/espaço vetorial das matrizes. No entanto, separamos em espaços de colunas para descrever a característica de linearidade em relação a cada coluna.

Mas poderíamos dizer que a função determinante é uma função n-linear e alternada com respeito às colunas, onde det da matiz identidade é 1.

Quando falarmos sobre isso (se é que vamos falar), mostraremos que isso está bem definido (ou seja, existe só uma função que satisfaz isso). Além disso, mostraremos a equivalência dessa definição com uma outra (a definição construtiva).

Para ver que, de fato, aquele teorema vale, toma-se uma matriz A cujas colunas são L.I e, então, provamos que o det é não-nulo. (assim, teremos provado por contraposição o teorema)

TENTEM PROVAR ANTES DE LER! Eu espero que entendam as coisas… estou um pouco cansado e com sono, então talvez fique meio confuso (mas pensem e tentem fazer). E quem estiver disposto, coloque aqui!🙂

Se as colunas são L.I., elas formam uma base para o espaço \mathbb{R} ^m . Podemos, então, tomar as coordenadas dos vetores canônicos na base das colunas u_1 , \ldots u_n .  Seja (\alpha_{i_1}, \ldots ,\alpha_{i_n} ) as coordenadas do vetor canônico e_i .

Se, por abusurdo, o determinante de A fosse nulo, seguiria que

det (u_1, \ldots , u_n ) = 0 . Logo

det (e_1 , \ldots , e_n ) = \sum_{j_1=1}^n\alpha_{1_{j_1}} \ldots \sum_{j_n=1}^n\alpha_{1_{j_n}} (u_{j_1}, \ldots , u_{j_n} )
Vcs vão ver que esse último somatório feio (que se aproxima de provar a equivalência da “definição” construtiva) é, na verdade, formada sempre por parcelas nulas. Disso segue que

det (e_1 , \ldots , e_n )=0 . Absurdo (pois contraria a definição de determinante).

Logo, se as colunas são L.I, o det é não nulo. Ou seja, se o det é nulo, as colunas são L.D.

Bom, vamos ao polinômio característico. Quando vi pela primeira vez a definição de autovalor e de polinômio característico, sempre procurava saber como as coisas dão certo…😛

Se vocês leram o Shokranian atentamente, acredito que façam idéia do porquê, mas eu resolvi formalizar e demonstrar as coisas aqui como nota (para ficar claro para vcs)  (já que não me lembro de ter visto um tratamento sistemático dessas coisas em nenhum dos dois livros)

Seja A:E\to E   um operador linear. Tem-se que, ou A:E\to E é invertível, ou A:E\to E não é injetiva (ou seja, o núcleo não é unitário). Isso é conseqüência direta de vários dos teoremas que vocês já viram (por exemplo, o teorema do núcleo e da Imagem).

A pergunta é ” Por que as raízes de det (A- \lambda I) = 0 são autovalores? ”

Primeiro passo:

Teorema 1

A:E\to E é invertível se, e somente se, o determinante da matriz do operador é não-nulo.

Provem!

Isso é óbvio, mas, por incrível que pareça, todo o trabalho anterior tinha como objetivo apenas preparar o terreno para provar isso. Isso tem a ver com definições de posto e etc (espero que tenham visto coisas desse tipo).

Teorema 2

\lambda á autovalor de A se, e somente se, (A-\lambda I) é não-invertível.

PROVEM

Dos dois teoremas, segue que

\lambda é autovalor de A se for raiz do polinômio característico (como foi definido para a gente lá trás: no curso de IAL) da matriz (do operador). 😀

3 respostas para Observação/exposição sobre Polinômio característico e determinante

  1. Lucatelli disse:

    Eu não entendo essa coisa de “formula does not parse”. Não consegui corrigir isso!😦

  2. Lucatelli disse:

    Os dizeres sobre determinante para conseguir uma prova do TEOREMA 1 poderia ser evitado se tivéssemos posse dos teoremas:
    “Uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante é não-nulo” (mas, para isso, precisariamos, de qualquer jeito, falar sobre determinante)
    “O isomorfismo de espaços vetoriais que é definida no ELON é, na verdade, um isomorfismo de álgebras”

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