União de diferenças simétricas

Um post facinho, pra relaxar.😉

Vou descrever um pequeno “truque” utilizado na demonstração do teorema 1.5 do livro An Introduction to Ergodic Theory do professor Peter Walters.

A diferença simétrica de dois conjuntos A e B é definida por A \bigtriangleup B = A \cup B \setminus A \cap B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A).

Sejam A_0, \dotsc, A_n conjuntos quaisquer. Suponha que x \not \in \bigcup_{k=1}^{n} (A_{k-1} \bigtriangleup A_k). Então, se para algum i tivermos que x \in A_i valerá que para todo 0 \leq k \leq n, x \in A_k.

Em particular, se x \not \in \bigcup_{k=1}^{n} (A_{k-1} \bigtriangleup A_k), então, para todo i,j teremos que x \not \in A_i \setminus A_j. O que por sua vez, implica que para todo i,j teremos que x \not \in A_i \bigtriangleup A_j. Resumindo,

  • Para todo i,j, A_i \setminus A_j \subset \bigcup_{k=1}^{n} (A_{k-1} \bigtriangleup A_k).
  • Para todo i,j, A_i \bigtriangleup A_j \subset \bigcup_{k=1}^{n} (A_{k-1} \bigtriangleup A_k).

A demonstração é simples. Basta notar que se x \in A, então x \in A \cup B. Mas se também valer que x \not \in A \bigtriangleup B = A \cup B \setminus A \cap B, então x \in A \cap B. Argumentando indutivamente, temos o resultado desejado.

12 respostas para União de diferenças simétricas

  1. Lucatelli disse:

    BACANA! =) Poxa, legal! =)
    =) =) =) =)

    =D
    =D
    =D
    =D

    Deixa eu ver se eu entendi. O teorema central é esse:
    “Sejam A_0, \dotsc, A_n conjuntos quaisquer. Suponha que x \not \in \bigcup_{k=1}^{n} (A_{k-1} \bigtriangleup A_k). Então, se para algum i tivermos que x \in A_i valerá que para todo 0 \leq k \leq n, x \in A_k.”

    Achei legal a conveniência de se usar a indução! =)
    Porque, na demonstração, intuitivamente, ocorre justamente que a hipótese (x\in A_i e x \not \in \bigcup_{k=1}^{n} (A_{k-1} \bigtriangleup A_k) ) implica que x está, também, nos conjuntos A_{i+1}, A_{i-1} e “assim vai” (nesse “assim vai” que, formalizando, entrou a indução num encaixe perfeito). =D =D =D =D. =D =D =D

    • andrecaldas disse:

      Deixa eu ver se eu entendi. O teorema central é esse: […]

      Na verdade, o fato que o Walters usa na demonstração é:
      A_n \bigtriangleup A_0 \subset \bigcup_{k=1}^n (A_{k-1} \bigtriangleup A_k).

      Mas eu acho que pra demonstrar o teorema só isso dá:
      A_n \setminus A_0 \subset \bigcup_{k=1}^n (A_{k-1} \bigtriangleup A_k).

      • Lucatelli disse:

        uhm…
        Mas o teorema que ele queria demonstrar é aquele que eu citei, né?

        Se for, eu não usei diretamente essas coisas (afirmações) não…🙂 Depois eu coloco aqui (para você ver se está certo)😀

      • andrecaldas disse:

        Não. Ele demonstra uma caracterização de ergodicidade. No meio da demonstração ele usa o fato de que A_n \bigtriangleup A_0 \subset \bigcup_{k=1}^n (A_{k-1} \bigtriangleup A_k). Ele nem demonstra isso, não. Só usa esse fato.

      • Lucatelli disse:

        Ah! Entendi!🙂

  2. Mauro disse:

    Não achei tão facinho não…
    =|

    • Lucatelli disse:

      Você está falando sobre a demonstração do teorema?

      Acho que é porque fica mais fácil usando a “segunda formulação do princípio da indução” (O que tem a hipótese mais forte (a hipótese de indução é “verdadeiro para m< n “). Depois, tive que ver dois casos (de escolha do j tal que x\in A_j ). Não ficou nada difícil assim, mas realmente não ficou tão fácil quanto eu esperava.

      Existe uma formulação mais fraca disso que tem como demonstrar sem indução (mas daí a união é bem maior) e, provavelmente, não serviria para os fins do livro (do André). Essa forma mais fraca tem como hipótese a união de todas combinações possíveis de diferenças simétricas (aí sim o probleminha fica facinho mesmo).

      Mudando de assunto… Eu acho que poderíamos abrir uma subcategoria nos "fóruns" para posts como esse, o que acham?
      Eu só não sei qual nome colocar… como tem um "TECNOLOGIA", eu acho que o nome deve deixar claro que os posts serão sobre matemática. Mas, por outro lado, não pode ser algo do tipo "Matemática" (pois ficaria meio redundante)…

      Bom,

      Até mais

      • andrecaldas disse:

        Mudando de assunto… Eu acho que poderíamos abrir uma subcategoria nos “fóruns” para posts como esse, o que acham?

        Eu fiquei na dúvida com a categoria, mas resolvi esperar alguém perceber.🙂

        Não sei qual seria o nome ideal da categoria…

      • Lucatelli disse:

        Massa!
        Eu também fiz o mesmo! Por isso, só comentei sobre isso ontem!
        😀

      • Lucatelli disse:

        Eu tentei dar uma ajeitada!
        Depois vê se achou bom…

        Eu acho que as coisas devem ser divididas por assunto também! =)

        Abraço

      • Lucatelli disse:

        Não tem nada de 2ª formulação não… Agora que eu vi!
        Pode usar o 1º tranqüilo e fica bem mais fácil do que usando a 2ª!🙂

    • andrecaldas disse:

      A demonstração ou o teorema? Acho que eu acabei complicando um pouco mais do que precisava.🙂

Deixe uma resposta

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s

%d blogueiros gostam disto: