Método clássico para Fibonacci

Eu perdi o livro de álgebra linear do Elon Lages. =(

Acho que foi a primeira vez que perdi um livro… o pior é que os fatos não se encaixam: não lembro onde eu possa ter deixado: para mim, ele estava comigo até determinado momento (e, depois, ele desapareceu).

Mas eu planejava escrever esse post sobre o método clássico de se encontrar a fórmula geral da seqüência de Fibonacci (usando álgebra linear). Se não me engano, ele está exposto (como exercício) no livro do Elon (por isso, o comentário sobre o livro: não pude conferir onde havia essa exposição).

Parece que o Henrique “aprendeu” esse método com o professor dele no colégio. Mas creio que o professor não deve ter apresentado de forma clara (e com detalhes).

Bom, no post sobre polinômios característicos, eu esqueci de comentar que, a cada operador, existe um único polinômio característico associado (não depende da base escolhida para a matriz). Isso é conseqüência dos fatos expostos lá (afinal, as raízes do polinômio são os autovalores (e o polinômio sempre é mônico)).

Eu não me lembro exatamente como é o método que pretendia expor aqui (nem estou com o livro aqui para dar uma olhada =(  ), mas lembro da idéia. E, assim, vou fazer algo que se aproxima da técnica (usando a mesma idéia).

Já definimos seqüência de Fibonacci anteriormente. Mas vou recolocar aqui:

Uma seqüência de fibonacci é uma seqüência real (a_1, ... ,a_n, ...) tal que a_{n+1}=a_n+a_{n-1} . O objetivo aqui é econtrar uma fórmula explícita para o n-ésimo termo da seqüência fibonacci padrão/clássica:

(1,1,2,3,5,8,13,21,34,...).

Uma forma explícita quer dizer uma coisa do tipo a_n=f(n) (o n-ésimo termo é dado em função de n )

Bom, acho que vocês já viram um resultado que diz que, se dim E = n e A:E\to E operador linear com n autovalores, então a matriz de A na base dos autovetores é uma matriz diagonal (cujas entradas não-nulas são exatamente os autovalores) . =)

Seja A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 o operador linear tal que A(u_1,u_2)=(u_2,u_1+u_2) . Isso, de fato, é um operador linear (a verificação é rápida).

Note que o que queremos descobrir é uma “forma explícita” (em função de n ) para A^n (1,1), pois

A(0,1)=(F_1,F_2) (onde F_i é o i-ésimo termo da seqüência de Fibonacci “padrão”)

e, por indução, vê-se que

A^n (1,1)= (F_{n},F_{n+1}) .

Bom, calculemos a matriz do operador A na base canônica. Isso ficaria a_{11}=0 , a_{21}=1 , a_{12}=1 , a_{22}=1 .

Logo o polinômio característico é

p_A(x)=det (A-xI)= x^2-trA x +det A=x^2-x-1

Logo os autovalores são

\frac {1+\sqrt{5}}{2} e \frac {1-\sqrt{5}}{2}  (\phi_1 e \phi_2 ).

Os autovetores são:

(1, \frac {\sqrt{5}+1}{2} )

e

(1, \frac {1-\sqrt{5}}{2} )

E  a matriz de A em relação à base dos autovetores é

(b_{ij}) diagonal, onde b_{11}=\frac {1+\sqrt{5}}{2} e b_{22}=\frac {1-\sqrt{5}}{2}.

Logo A^n tem a matriz diagonal acima elevado a n . Ou seja,

(c_{ij} ) diagonal, onde c_{11}=\left(\frac {1+\sqrt{5}}{2}\right)^n e c_{22}=\left(\frac {1-\sqrt{5}}{2}\right)^n.

Isso quer dizer que:

A^n (0,1)= (f_{n},f_{n+1})= \alpha_1 (\frac {1+\sqrt{5}}{2})^n\cdot (1, \frac {1+\sqrt{5}}{2} ) +  \alpha_2 ( \frac {1-\sqrt{5}}{2})^n \cdot (1, \frac {1-\sqrt{5}}{2} ) , onde \alpha_1 e \alpha_2 são as coordenadas do vetor (0,1) na base dos autovetores… =) Essas coordenadas, na verdade, são: (1/\sqrt{5} , -1/ \sqrt{5})

Em particular, segue que

F_n= \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac {1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac {1-\sqrt{5}}{2})^n )

🙂

2 respostas para Método clássico para Fibonacci

  1. Lucatelli disse:

    Eu comentando de novo! =) =) =)

    Faltou uma coisinha nisso tudo que eu escrevi…🙂

    Na verdade, não faltou nada, mas faltou comentar uma coisinha (importante).
    🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂

    E tem uma outra coisa mais legal ainda que eu queria comentar (que eu percebi depois)! Mas que vai ficar especialmente como curiosidade.

    Depois, eu comento essas duas coisas!🙂🙂🙂🙂🙂

    Até mais! =)

  2. Lucatelli disse:

    Tinha faltado provar que:
    Se a e b são matrizes dos operadores lineares A: E\to E e B:E\to E , respectivamente; então ab é a matriz do produto AB .🙂
    A “recíproca” é verdadeira!😀

    Depois eu vou colocar alguns comentários sobre isso (só como curiosidade) em forma de post (apenas na subcategoria Álgebra linear)

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