Método clássico para Fibonacci (sem matrizes)

Podemos fazer o mesmo método para encontrar a fórmula geral da seqüência de Fibonacci, porém sem fazer uso do isomorfismo entre os operadores e matrizes…

Para prosseguir, precisa-se de um leminha fundamental:

“Se \lambda é um autovalor do operador linear B:E\to E e v\in E é um autovetor correspondente, então

B^n v = \lambda ^n v .”

Toma-se o mesmo operador linear A:E\to E , onde A(u_1 , u_2)= (u_2 , u_1+u_2) . Queremos descobrir uma fórmula explícita para A^n (0,1) , pois A^n (0,1) = (F_n , F_{n+1} ) .

Bom, o primeiro passo é encontrar os autovalores do operador linear:

De Au=\lambda u , consegue-se o seguinte sistema:

u_2 = \lambda u_1

u_1+u_2 = \lambda u_2

Disso segue que u_1+\lambda u_1 = \lambda ^2 u_1 .

Supondo u_1\neq 0 , segue que existem dois autovalores \lambda _1 =\phi_1 e \lambda_2 = \phi_2 .

Portanto são autovetores os

v_1 = (1, \phi _1)

v_2 = (1, \phi _2)

Como \left\{v_1 , v_2 \right\} forma uma base de \mathbb{R}^2 , dado w\in \mathbb{R} ^2 , existem \beta_1 , \beta_2\in\mathbb{R} tais que w=\beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 . Portanto

A^n w =A^n (\beta _1 v_1 + \beta _2 v_2 )

= \beta _1 A^n v_1 + \beta _ 2 A^n v_2

= \beta_1\lambda_1 ^ n (1, \phi_1 ) + \beta_2 \lambda_2 ^ n (1, \phi_2 )

= \beta_1\phi_1 ^ n (1, \phi_1 )+ \beta_2 \phi_2 ^ n (1, \phi_2 )

Como as coordenadas do vetor (0,1) na base dos autovetores é (1/\sqrt {5} , -1/ \sqrt{5} ), segue que

(F_n , F_{n+1} ) = A^n (0,1)

= \frac{1}{ \sqrt{5}}\phi_1 ^ n (1, \phi_1 )- \frac{1}{ \sqrt{5}} \phi_2 ^ n (1, \phi_2 )

E, em particular, segue que:

F_n = \frac{1}{ \sqrt{5}} ( \phi_1 ^n - \phi_2 ^n )

Nesse post, \phi_1 := \frac{1+\sqrt{5} }{2} e \phi_2 := \frac{1-\sqrt{5}} {2} .

Bom, acho que essa apresentação ficou mais limpinha!😀

Até mais

Uma resposta para Método clássico para Fibonacci (sem matrizes)

  1. brigada…acho que isso irá me ajudar a tirar um 10

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