O princípio da TACA

Novamente, vou falar da demonstração do teorema 1.5 do livro An Introduction to Ergodic Theory do professor Peter Walters.

Primeiro, vamos dar nome aos bois…

Seja (\Omega, \sigma, \mu) um espaço de medida de probabilidade, e T: \Omega \to \Omega uma transformação que preserva a medida. Ou seja, mensurável, tal que \mu = \mu \circ T^{-1}. Dizemos que T é ergódica quando os conjuntos A \in \sigma (mensuráveis) que satisfazem A = T^{-1}A (ditos invariantes) têm necessariamente medida 0 ou 1.

Vou mostrar que a transformação é ergódica se, e somente se, os conjuntos mensuráveis que satisfazem T^{-1} A \subset A (daí o nome… princípio da TACA ;-)) tiverem medida 0 ou 1. É trivial que esta condição é mais forte que a ergodicidade, já que T^{-1} A = A \Rightarrow T^{-1} A \subset A. Vamos ver, então, que ergodicidade implica nesta nova condição.

Suponha que T^{-1} A \subset A. Aplicando T^{-1} a ambos os lados repetidamente, temos que A \supset T^{-1}A \supset T^{-2}A \supset \dotsb. Esta sequência de conjuntos decresce (converge) para \lim T^{-n}A, que é um conjunto invariante. Portanto, \mu(A) = \mu(T^{-n}A) \rightarrow \mu(\lim T^{-n}A), onde a igualdade vem da invariância de T, e a segunda parte é a continuidade da medida (de probabilidade). Assim, a medida de A deve ser igual à medida de um conjunto invariante, que por hipótese é 0 ou 1.

O mesmo vale para A \subset T^{-1}A. A demonstração do teorema 1.5 utilizando essa caracterização é bem mais elegante😉.

André Caldas.

4 respostas para O princípio da TACA

  1. leandromat disse:

    Oi André,

    onde esta escrito “É trivial que esta condição é mais forte que a ergodicidade, já que T^{-1} A = A \Rightarrow T^{-1} A \subset A

    Não seria ?

    É trivial que esta condição é mais FRACA que a ergodicidade…” ?

    []’s
    L.

    • andrecaldas disse:

      Acho minha frase não ficou legal, mesmo, não. Seria melhor se eu tivesse colocado do jeito que o Mauro escreveu.

      Valeu por ter comentado.🙂

  2. Mauro disse:

    Acho que tá certo Leandro. A condição é mais forte no sentido que ela implica na ergodicidade. Ou seja,

    T^{-1} A \subset A \Rightarrow \mu(A) = 0 ou 1

    implica que

    T^{-1} A = A \Rightarrow \mu(A) = 0 ou 1

  3. leandromat disse:

    Oi André, ficou legal sim eu que realmente raciocinei errado, depois da explicação do Mauro eu notei que o que você tinha escrito estava absolutamente correto.
    []’s

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