Topologia dos espaços vetoriais normados

Estou sem tempo de computador agora. Vou, então, esboçar o que o henrique me pediu…

Para provar que as normas são equivalentes, devem fazer os seguintes passos:

1)Provar que E é completo na norma do máximo (ou da soma) (ou seja, que toda seqüência de cauchy converge). Ou apenas provar o teorema de Bolzano Weierstrass.

2)Depois a prova de que todas normas são equivalentes sai tranqüilamente….

Com efeito, na norma do máximo, temos que (u_n) ser limitada implica que a seqüência das coordenadas é limitada. Como para \mathbb{R} vale o teorema  de Bolzano, segue que, para cada seqüência de coordenadas, existe uma subseqüência convergente.

Façamos assim: para a primeira coordenada, pegamos o conjunto de índices (infinito) que torna a seqüência das primeiras coordenadas convergente. A subseqüência (u_n) com índices nesse conjunto continua limitada(obviamente). Logo tomamos a seqüência das segundas coordenadas (que será limitada também). Por ser limitada, possui uma sub convergente. Tomamos os índices que torna essa sub convergente.

“Assim vai” até a n-ésima coordenada.! =)

Logo existe um subconjunto \mathbb{N}_c dos naturais (infinito) de índices tal que torna  cada uma das seqüências de coordenas convergente para um número real. Suponhamos que cada seqüência de coordenadas u_{n_i} convirja para L_i. Provemos que a seqüência nesses índices converge para o vetor de coordenadas (L_1,...,L_m).

De fato, dado \epsilon>0 , existem n_1,n_2,...,n_n\in\mathbb{N} tais que

n > n_1 (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_1}-L_1|<\epsilon

n > n_2 (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_2}-L_2|<\epsilon

n > n_3 (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_3}-L_3|<\epsilon

.

.

.

n>n_m (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_m}-L_m|<\epsilon

Logo

n > \max \left \{ n_1, \dotsc, n_m \right \} (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_i}-L_i|<\epsilon\forall i\in\left\{1,...,m\right\}

E, em particular,

n > \max \left \{ n_1, \dotsc, n_m \right \} (em \mathbb{N}_c) implica ||u-L||<\epsilon

onde || \cdot || é a norma do máximo (desculpe a notação) e L é o vetor de coordenadas (L_1, ... ,L_m)

CQD

Bom, para provar a equivalência usando Bolzano, é mais traqüilo de que as outras demonstrações… Quem não conseguir fazer a segunda etapa pode procurar no livro “CURSO DE ANÁLISE Vol 2” ou me procurar pela UnB.

Abraço

até mais

5 respostas para Topologia dos espaços vetoriais normados

  1. Lucatelli disse:

    As coisas que estão em “formula does not parse são do tipo:
    n> n_i

    Esses erros são muito complicados de lidar…

    n > n_1 (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_1}-L_1| n_2 (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_2}-L_2| n_3 (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_3}-L_3|n_m (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_m}-L_m|<\epsilon

  2. Lucatelli disse:

    n > n_1 (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_1}-L_1| n_2 (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_2}-L_2| n_3 (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_3}-L_3|n_m (em \mathbb{N}_c) implica |u_{n_m}-L_m|<\epsilon

  3. Lucatelli disse:

    Aeh! André, obrigadão pela ajuda com os códigos e com a apresentação do post! =) =) =)

    Abraço

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