Caracterizações de ergodicidade (1)

No meu post passado, mostrei uma caracterização para ergodicidade. Vou usar essa caracterização e também o post sobre diferenças simétricas para demonstrar as seguintes equivalências: (adaptação de parte do teorema 1.5 do livro An Introduction to Ergodic Theory do professor Peter Walters)

  1. T é ergódica.
  2. Para todo A \in \sigma com \mu(A) > 0 temos que \mu(\limsup T^{-n}A) = 1
  3. Para todo A \in \sigma com \mu(A) > 0 temos que \mu\left(\bigcup_{j=n}^\infty T^{-j}A\right) = 1 para qualquer n \in \mathbb{N}.
  4. Se A \in \sigma e \mu(A \bigtriangleup T^{-1}A) = 0, então \mu(A) = 0 ou \mu(A) = 1.

É trivial que (2) e que (3) implicam em (1), pois quando A = T^{-1}A, temos que A = \bigcup_{j=n}^\infty T^{-j}A = \limsup T^{-n}A.

O fato de (1) implicar em (2) segue se observarmos que o conjunto B_n = \bigcup_{j=n}^\infty T^{-j}A satisfaz o princípio da TACA, pois temos que T^{-1}B_n = B_{n+1} \subset B_n.

O item (2) implica em (3), pois B_n \downarrow \limsup T^{-n}A implica que 1 = \mu(B_n) \downarrow \mu(\limsup T^{n}A).

É óbvio que se A = T^{-1}A, então \mu(A \bigtriangleup T^{-1}A) = \mu(\emptyset) = 0, e portanto, (4) implica em (1). Basta agora mostrar que (3) implica em (4). Vou deixar para um próximo post.

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