Completude dos espaços vetoriais de dimensão finita

Alguém (Thiago ou Henrique) já provou a equivalência das normas?

Vou esboçar alguma coisa aqui… =) =)

Bom, eu acho que ficou faltando que, dada uma norma \left\| \cdot \right\| num espaço vetorial E de dimensão finita, existe \alpha tal que  \alpha \left\| u \right\| \geq \left\| u \right\|_s para todo u\in E , onde \left\| \cdot \right\| _s é a norma da soma… A outra parte que diz que existe \beta tal que \left\| v \right\| \leq \beta \left\| v \right\|_s para todo v\in E   já foi provada…

Suponha por absurdo que não aconteça isso. Isso quer dizer que A=\left\{\frac{ \left\| u\right\| }{\left\| u\right\|_s}: u\in E\right\} é tal que inf A=0. Basta ver que, se não fosse, teríamos que, todo v\in E,

satisfaz \frac{\left\| v \right\|}{\left\| v \right\|_s}\geq k<0. Logo

\left\| v\right\|\geq k\left\|v \right\|_s (ou seja, contraria a nossa hipótese de absurdo). Logo devemos ter que inf A=0.

Como inf A=0, segue que temos uma seqüência (x_n) , onde x_n=u_n/\left\|u_n \right\|_s tal que \left\|x_n \right\|\to 0, ou seja, x_n\to 0 na norma \left\| \cdot \right\|. =)

Mas note que, na norma da soma, x_n é limitada, pois \left\|x_n \right\|=1 para todo n\in\mathbb{N}.

O teorema de Bolzano diz que, na norma da soma (assim como nas outras duas normas que já sabemos que são equivalentes a ela: a norma do máximo e na norma euclidiana), toda seqüência limitada possui uma sub convergente. Logo existe (x_{n_j}) tal que x_{n_j}\to L.

Uma subseqüência de uma seqüência convergente, converge para o mesmo ponto. Logo, na norma \left\| \right\|, x_{n_j}\to 0.

Dado \epsilon > 0 , existe n_o\in\mathbb{N} tal que

n_j>n_o implica

\left\|L-x_{n_j} \right\|_s<\epsilon /\beta (onde \beta é tal que \left\|\cdot \right\|\leq \beta\left\|\cdot \right\|_s). Logo

\left\| L-x_{n_j} \right\| \leq \left\| L-x_{n_j} \right\|_s < \epsilon / \beta

Isso quer dizer que x_{n_j} converge para L na norma \left\|\cdot \right\| . Portanto, pela unicidade do limite, L=0. ABSURDO. Pois \left\|x_{n_j} \right\|_s=1 para todo índice, portanto \left\|L \right\|_s=1 .

Diante desse absurdo, segue que inf A deve ser positivo… =D =D =D =D

Ah! Esqueci de falar sobre a completude. Quando duas normas são equivalentes, seqüências de Cauchy se tornam seq’s de Cauchy. E seq’s convergentes se tornam seq’s convergentes…

Logo, se o espaço é completo em relação a uma norma, ele é completo em relação à outra (equivalente è primeira). Como todas as normas são equivalentes em espaços vetoriais de dimensão finita, segue que basta provar que, em relação a uma dessas normas, o espaço é completo (logo é completo em relação a qualquer norma).

Pelo teorema de Bolzano, seqüências limitadas possuem sub convergente (num espaço vetorial de dim finita em relação à norma do máximo). TOda seq de Cauchy é limitada e, além disso, se possui sub convergente, ela converge.

Logo toda seq de Cauchy é convergente em relação à norma do máximo num esp. de dim finita (ou seja, o espaço vetorial de dim finita em relação à norma do máximo é completo). COmo foi observado anteriormente, isso implica que todo espaço vetorial de dim finita em relação a qualquer norma (por todas serem equivalentes) são completos…

ABRAÇO

4 respostas para Completude dos espaços vetoriais de dimensão finita

  1. Lucatelli disse:

    Tem algumas passagens que podem servir de exercícios…
    Como a unicidade do limite de uma seqüência. Provar que se um seqüência converge, ela converge para um único ponto (num espaço vetorial).

    Fora isso, provar que, se x_n\to L , então \left\| x_n \right\|\to \left\| L \right\| .

    =) =) =) =)

    • Lucatelli disse:

      Esse último resultado eu usei quando disse que \left\| x_{n_j} \right\|_s =1 para todo n\in \mathbb{N} ; logo \left\| L \right\|_s =1 .

      Obs.: Tínhamos que x_{n_j}\to L e \left\| x_{n_j} \right\|\to 1 . Pelo leminha, segue que \left\| x_{n_j} \right\|\to \left\| L \right\| e, pela unicidade dos limites nos reais, segue, então, que \left\| L \right\|=1

  2. andrecaldas disse:

    Fernando,

    Descobri o problema (ou um dos problemas) que fazem com que suas fórmulas não funcionem. É que o seu editor de texto (se é o caso de você fazer “copy-paste”), ou o seu navegador, ou alguém😉 estão inserindo um caractere de código C2A0 no meio da fórmula. Me parece que esse caractere é um “non-breaking space” e é, portanto, invisível para um olho não treinado.😉

    Corrigi uma das fórmulas. O resto é dever-de-casa.

    Pergunta: Que aplicativos você usa pra fazer esses posts? Onde você edita o texto e qual é o seu navegador? Espero que não seja nada da M$.😉

    Um abraço,
    André Caldas.

    • Fernando disse:

      Uso Mozilla Firefox no meu computador! =) =)
      Mas, infelizmente, isso não é um padrão (já que faço os posts tanto em casa quanto nos computadores da UnB) e os erros são freqü^ntes nos dois casos.

      Fora isso, tenho mais de um navegador no computador: internet explorer, Mozilla Firefox e o outro que minha irmã instalou de besteira (da google: acho que google chrome). E, tirando o internet explorer (que eu não gosto), posto com os outros dois indiscriminadamente.

      Bom, eu não sei o que é um ““non-breaking space””. E, mesmo quando vou corrigir, as fórmulas estão certinhas… Não tem como corrigir.

      Ah! E não uso editor de texto diferente do Bloco de Notas! =) (quando (raramente) uso).

      Bom
      Abraço

      e
      Obrigado pela ajuda!

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