Recorrência de Poincaré e a TACA

O princípio da TACA contra-ataca!!🙂

Uma transformação T: \Omega \rightarrow \Omega de um espaço de probabilidade (\Omega, \sigma, \mu) é chamada ergódica se:

  1. Preserva a medida: \mu = \mu \circ T^{-1}.
  2. Os conjuntos invariantes tem medida total ou nula: A = T^{-1}A \Rightarrow \mu(A) = 0 \text{ ou } 1.

Mesmo que considerássemos uma transformação que ao invés de preservar a medida, fosse apenas incompressível, i.e.:

T^{-1}A \subset A \Rightarrow \mu(A) = \mu(T^{-1}A),
ou equivalentemente,
T^{-1}A \subset A \Rightarrow \mu(A \setminus T^{-1}A) = 0,

o princípio da TACA continuaria valendo. Tomando limites, poderíamos enunciar o princípio assim:

T^{-1}A \subset A \Rightarrow \mu(A \setminus \lim T^{-1}A) = 0.

Portanto, as equivalências demonstradas no post “Caracterizações de ergodicidade (1)” também continuariam valendo. Acho que até a implicação de (3) em (4) continuaria valendo, mas não tenho certeza.😉

A essência das demonstrações onde utilizamos o princípio da TACA é:

  1. Para A \in \sigma, B = \bigcup_{j=n}^\infty T^{-j}A é tal que T^{-1}B \subset B.
  2. Para A \in \sigma, B = \bigcup_{j=n}^\infty T^{-j}A, temos que \limsup T^{-n}A = \lim T^{-n}B.

A conclusão é que quando a transformação é incompressível,

\mu(\bigcup_{j=0}^\infty T^{-j}A) = \mu(\limsup T^{-n}A).
Ou,
\mu(\bigcup_{j=0}^\infty T^{-j}A \setminus \limsup T^{-n}A) = 0.

Vamos usar isso para demonstrar a parte mais difícil do teorema de Recorrência de Poincaré:

Teorema (recorrência de Poincaré): Seja T: \Omega \rightarrow \Omega uma transformação incompressível de um espaço de medida finito (\Omega, \sigma, \mu). Então, dado A \in \sigma, quase todo ponto de A é recorrente. Ou seja, o conjunto dos pontos x \in A tais que T^{n}x não está em A um “número infinito de vezes” tem medida nula.

Demonstração:
O conjunto dos pontos de A que não são recorrentes são exatamente A \setminus \limsup T^{-n}A. Pelo exposto acima, \mu(\bigcup_{j=0}^\infty T^{-j}A \setminus \limsup T^{-n}A) = 0. Em particular, como A \subset \bigcup_{j=0}^\infty T^{-j}A, temos que \mu(A \setminus \limsup T^{-n}A) = 0.

6 respostas para Recorrência de Poincaré e a TACA

  1. Mauro disse:

    Massa!=D
    Mas acho que faltou explicar melhor a frase

    “O conjunto dos pontos de A que não são recorrentes são exatamente A \setminus \limsup T^{-n}A“.

    Também não entendi a frase

    “Mesmo que considerássemos uma transformação que ao invés de preservar a medida, fosse apenas incompressível, i.e.:

    T^{-1}A \subset A \Rightarrow \mu(A) = \mu(T^{-1}A),
    ou equivalentemente,
    T^{-1}A \subset A \Rightarrow \mu(A \setminus T^{-1}A) = 0,

    o princípio da TACA continuaria valendo. “

    • andrecaldas disse:

      Sobre a primeira parte do comentário:

      Então… é que eu queria poder dizer que a demonstração ficou curtinha.😉
      Bom, o conjunto de todos os pontos cujas órbitas passam pelo conjunto A infinitas vezes é exatamente \limsup T^{-n}A. Isso está claro? São os pontos x tais que para todo N existe n_x > N tal que T^{n_x}x \in A. Basta substituir “para todo” pela “interseção” e “existe” pela “união” para ver que este é o limsup.

      • Mauro disse:

        O conjunto de todos os pontos cujas órbitas passam pelo conjunto A infinitas vezes não seria A \cap \limsup T^{-n}A?

      • andrecaldas disse:

        Não. Esses são os pontos de A que passam por A infinitas vezes.🙂

      • andrecaldas disse:

        Os pontos de A que passam por A infinitas vezes é o que você diz. Assim, os pontos de A que não passam por A infinitas vezes é A \setminus \limsup T^{-n}A. Que está contido em \bigcup_{n=0}^\infty T^{-n}A \setminus \limsup T^{-n}A, que tem medida nula pela incompressibilidade.

    • andrecaldas disse:

      Sobre a segunda parte do comentário…

      Uma transformação incompressível T de um espaço de probabilidade é uma transformação tal que todo conjunto que é “comprimido” por T^{-1} tem sua medida preservada. Ou seja, a medida da “parte que foi comprimida” é sempre nula. Matematicamente, T é incompressível quando
      T^{-1}A \subset A \Rightarrow \mu(A \setminus T^{-1}A) = 0.

      Se usarmos a afirmação equivalente
      T^{-1}A \subset A \Rightarrow \mu(A) = \mu (T^{-1}A),
      então é fácil ver que toda transformação que preserva a medida é, em particular, incompressível, já que neste caso, \mu = \mu \circ T^{-1}, independentemente do conjunto considerado estar sendo comprimido, ou não.

      O princípio da TACA depende apenas da incompressibilidade da transformação considerada. Ou seja, depende apenas do fato
      T^{-1}A \subset A \Rightarrow \mu(A) = \mu (\lim T^{-n}A), que é verdadeiro para qualquer transformação incompressível.

      Assim, se considerássemos, por exemplo, ao invés de transformações ergódicas, transformações incompressíveis tais que a medida dos conjuntos invariantes é sempre 0 ou 1, as demonstrações dos posts anteriores, que utilizam apenas o princípio da TACA, continuam valendo.

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