F: Quadrado no Toro

“Um post facinho, pra relaxar.” (como diz o André)

Vou fazer alguns posts para testar aquilo (que falei) em relação aos códigos.

Ah! Eu não sei se está tudo certo!! =) =) =)🙂🙂🙂
Foi uma tentativa de formalizar uma coisa que um autor joga “intuitivamente” no livro. Eu apenas tentei esboçar (rapidamente) a idéia que tive.

Bom, o objetivo desse post é provar que existe uma função contínua \phi sobrejetiva que leva o quadrado no toro e ainda tem certas propriedades específcas (eu encontrei esse fato num livro de topologia (para provar outra coisa), mas foi bem jogado).

A intuição é “identificar os lados opostos de um quadrado sem os torcer.”

Note, por exemplo, que o “bordo” do quadrado nesse procedimento é associado a duas circunferências (que tem um ponto em comum).

Vou provar, então, que existe essa função contínua sobrejetiva.
Para isso, eu tomo S^1 - \left\{ 1 \right\} com a métrica induzida dos complexos (usual dos complexos) e (0,2\pi ) com a métrica induzida da reta (usual da reta) e, então, tomo a aplicação f : (0, 2\pi )\to S^1-\left\{1\right\} , f ( \alpha ) = e^{ \alpha i }   que é evidentemente um homeomorfismo. ( S^1\subset \mathbb{C} )
Provemos que se trata de um homeomorfismo uniformemente contínuo.
Denota-se por \left\|\cdot \right\| a norma (usual) em \mathbb{C} .
Com efeito,
Dado \epsilon > 0, a função \sqrt { 2x } (x real ) é contínua em 0 . Logo existe a > 0 tal que
\left| x \right| < a \Longrightarrow \left| \sqrt {2x} \right| < \epsilon

A função consseno (função real) é contínua no 0 , logo existe \delta > 0 tal que
\left| x\right| < \delta \Longrightarrow \left|cos (x) - 1\right| < a .
Logo, se tomarmos \left| \alpha - \beta \right| < \delta em (0,1) , segue que
\left\| e^{ \alpha i } - e^{ \beta i } \right\| =
= \sqrt { \left( cos( \alpha ) -cos ( \beta )\right)^2 + \left( sen( \alpha ) -sen ( \beta )\right)^2} =
= \sqrt { 2(1 - cos ( \alpha - \beta )) }
e, como (1 - cos ( \alpha - \beta )) = \left|(1 - cos ( \alpha - \beta ))\right|< a , segue que

\sqrt { 2(1 - cos ( \alpha - \beta )) }<\epsilon .

Isso completa a prova de que  f  se trata, na verdade, de um homeomorfismo uniformemente contínuo.

Próxima etapa:

Teorema
Sejam X\subset M e Y\subset N subconjuntos densos dos espaços métricos completos M e N . Se f: X\to Y é um homeomorfismo uniformemente contínuo, segue que existe uma única extensão de f (uniformemente) contínua F : M\to N (e ela é sobrejetora).

Mas, então, segue disso que existe uma extensão F : [0, 2\pi ]\to S^1 contínua sobrejetora. E usando seqüências, ou limite, ou qualquer outra coisa do tipo, dá para mostrar que F(0)=F(2\pi )= 1 .

Agora, basta tomar \phi : [0,2\pi ]\times [0, 2\pi ] \to S^1\times S^1 , onde \phi (x,y) = (F(x) , F(y) ) . \phi = (F\times F ) , logo é contínua =).

Ah! Outra coisa que ele fala no texto é que o bordo do quadrado leva à reunião de duas circunferências que tem um ponto em comum (uma que abre o toro verticalmente e outra que “rasga” o toro “horizontalmente” ). Note que dá para mostrar isso usando o argumento exposto.
Afinal o bordo do quadrado é, na verdade, a reunião
\left(\left\{0\right\}\times [0, 2\pi ]\right) \cup
\cup \left(\left\{2\pi\right\}\times [0, 2\pi ]\right)
\cup \left([0, 2\pi ]\times \left\{0\right\}\right)
\cup \left([0, 2\pi ]\times \left\{ 2\pi\right\}\right) ,

e a imagem disso é

\left(\left\{1 \right\}\times S^1 \right)\cup \left( S^1 \times \left\{1\right\} \right)

Ou seja, justamente a reunião das tais circunferências.

Uma resposta para F: Quadrado no Toro

  1. Lucatelli disse:

    Bom, fora os meus próprios erros(os quais foram mais do que o nomal, por estar tarde), não tive problemas com os códigos (usei o procedimento que descrevi na “administração”: fiz no bloco de notas e copiei e colei aqui).

    Abraço

Deixe uma resposta

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s

%d blogueiros gostam disto: