Variedade afim paralela a um subespaço normado: um exemplo de espaço métrico

Um post para relaxar. =)

Sejam E um espaço vetorial e U\subset E um subespaço. Dado u\in E-U , a translação V= u+U é chamada de variedade afim. O subespaço U é chamado de subespaço paralelo à varidade afim V

A idéia é munir a variedade afim V de uma métrica proveniente de uma norma em U . Quando o espaço todo está munido de uma norma, basta tomar induzir a métrica do subespaço; mas o caso fica diferente quando tão somente o subespaço paralelo à variedade afim que está munido da norma.

Por exemplo, a norma do sup (da convergência uniforme) no subespaço das funções limitadas \beta (X; E) com contradomínio em um espaço vetorial normado E . Ela está definida num subespaço (está definida apenas no subespaço das funções limitadas) e não no espaço todo das funções. Se quisermos definir alguma métrica, numa variedade afim paralela a esse subespaço proveniente dessa norma, podemos utilizar o procedimento que segue:

Sejam E um espaço vetorial, F\subset E um subespaço vetorial normado (onde \left\| \cdot \right\| é a norma em F ) e V=F+u uma variedade afim. Define-se a seguinte métrica:

Dados w,v\in V , (w-v)\in F necessáriamente. Basta ver que w=w' + u e v = v' + u (para algum w'\in F e algum v' , segue que w-v= w'-v' , ou seja, (w-v)\in F .

Logo podemos definir d(w,v)=\left\| w-v \right\| .

Exemplo: No caso, das funções limitadas \beta (X, E) (com a métrica do sup), dado \alpha : X\to M não limitada, a variedade afim \beta (X, E) + \alpha é denotada por \beta _\alpha (X,E) . Esse espaço normalmente é dito ser o espaço das funções com “distância finita” de \alpha   e a métrica é justamente a métrica acima definida. =) (que, na verdade, acaba sendo d(f,g)=sup _{x\in X} \left\| f(x) - g(x)\right\| )

2 respostas para Variedade afim paralela a um subespaço normado: um exemplo de espaço métrico

  1. andrecaldas disse:

    Se você tem um espaço métrico (X, d), e uma bijeção f: Y \to X, então pode definir uma métrica em Y dada por d(a, b) = d(f(a), f(b)).

    No caso que você descreveu, f(a) = a - u. A parte interessante, é que se v também for tal que V = F + v, então a distância induzida por f será igual à distância induzida por g(a) = a - v. Isso é devido ao fato de a distância induzida pela norma ser invariante por translações e o fato de que u - v \in F. Assim, d(f(a), f(b)) = d(f(a) + (u-v), f(b) + (u-v)) = d(g(a), g(b)).

    Bom, foi só uma releitura… não disse nada que você já não tivesse dito.😉

    Um abraço,
    André Caldas.

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