Rotação Ergódica

Todas as medidas consideradas são de probabilidade.

Observação: Toda medida nos borelianos de um grupo topológico compacto é de Radon. (Teorema 6.1 do livro An Introduction to Ergodic Theory do professor Peter Walters, usando o fato de que todo fechado é G_\delta)

Teorema: Seja G um grupo topológico compacto, a \in G e \mu a medida de Haar sobre G. Então, a transformação (rotação) Tx = ax é ergódica se, e somente se, o subgrupo A = \{a^n | n \in \mathbb{Z}\} é denso. Em particular, se alguma rotação é ergódica, G é abeliano.

Demonstração:
(\bar{A} = G \Rightarrow T é ergódica)
O que vamos mostrar, é que no caso \bar{A} = G, a única medida de Radon onde T é invariante é a medida de Haar. Em um outro post, mostramos que os “pontos extremos” do conjunto das medidas de Radon invariantes por T são ergódicos. Como neste caso, a medida de Haar é a única medida de Radon invariante, então é “ponto extremal” e portanto, ergódica. (de fato, unicamente ergódica)

Seja então \nu uma medida de Radon invariante por T. Queremos mostrar que para todo conjunto mensurável B e todo g \in G, \nu(B) = \nu(gB). Se mostrarmos essa propriedade para os conjuntos abertos V, teremos que
\nu(B) = \inf_{B \subset V} \nu(V) = \inf_{B \subset V} \nu(gV) =\\= \inf_{gB \subset gV} \nu(gV) = \inf_{gB \subset U} \nu(U) = \nu(gB).

Sabemos por hipótese, que \nu é invariante pela multiplicação a esquerda por elementos do conjunto enumerável denso A. Dado g \in G, tome uma sequência a_n \rightarrow g, com a_n \in A.

Afirmação: gV \subset \liminf a_n V.

De fato, tome gv \in gV. Existe uma vizinhança da identidade simétrica W, tal que Wv \subset V. E existe N tal que para todo n \geq N, a_n \in gW. Como W é simétrico, temos que para todo n \geq N, g \in a_n W. Ou seja, para todo n \geq N, gv \in a_n Wv \subset a_n V. Assim,
gv \in \bigcap_{n=N}^\infty a_n V \subset \liminf a_n V.

Usando a afirmação, \nu(gV) \leq \nu(\liminf a_n V) =\\= \lim_{n \rightarrow \infty} \nu(\inf_{j \geq n} a_n V) \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} \nu(a_n V) = \nu(V).
Onde a última igualdade vem da invariância de \nu pelo produto com elementos de A. Concluímos que para todo g \in G e todo aberto V \subset G, \nu(g V) \leq \nu(V).

Fazendo h = g^{-1} e U = gV, temos pelo parágrafo anterior que \nu(V) = \nu(hU) \leq \nu(U) = \nu(gV). Mostramos que a medida dos abertos é invariante pela ação de G, concluindo a demonstração de que \nu = \mu.

(\bar{A} \neq G \Rightarrow T não é ergódica)
Suponha que H = \bar{A} \neq G. Vamos assumir que já sabemos que o fecho de um subgrupo é um subgrupo, e que portanto, H é um subgrupo (fechado) de G. Sendo assim, o espaço H \backslash G, com a topologia quociente é um espaço de Hausdorff que contém ao menos dois pontos Hg, H. A imagem inversa HV, HU de vizinhanças abertas disjuntas desses dois pontos, são abertos disjuntos em G que, como toda imagem inversa da projeção, são uniões de classes laterais Ha, que são conjuntos invariantes. A medida de Haar é positiva em todo conjunto aberto (basta notar que dado um aberto W, G é coberto por um número finito de g_kW, e todos tem medida igual à de W). Assim, ambos os conjuntos HV e HU têm medida positiva e são disjuntos. Segue que 0 < \mu(HV) \leq 1 - \mu(HU) < 1, mostrando que, neste caso, a rotação não é ergódica.

Se Tx = ax ergódica, então, como A é abeliano, e o fecho de um subgrupo abeliano é abeliano, temos que G = \bar{A} é abeliano.

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