Pontos Extremos e Medidas Ergódicas

Definição: Seja M um subconjunto convexo de um espaço vetorial. Dizemos que x \in M é um ponto extremo de M quando não for combinação convexa (não trivial) de nenhum ponto de M.


Dado um espaço mensurável (X, \sigma). O conjunto M(X) = M(X, \sigma) das medidas finitas sobre (X, \sigma) é um espaço vetorial. O conjuntos das medidas de probabilidade P(X) = P(X, \sigma) é um subconjunto convexo. E, fixada uma transformação T: (X, \sigma) \to (X, \sigma) mensurável, o conjunto P(T) das medidas de probabilidade invariantes por T também é um subconjunto convexo de M(X).

Se \mu \in P(T) não é T-ergódica, é fácil ver que não é um ponto extremo de P(T). De fato, se E \subset X é um conjunto invariante com 0 < \mu(E) < 1, então, fazendo F = E^\complement,
\mu = \frac{1}{\mu(E)} \mu_E + \frac{1}{\mu(F)} \mu_F,
onde \mu_E(A) = \mu(E \cap A), é uma combinação convexa não trivial de elementos de P(T).

O objetivo desse post é mostrar que a recíproca também vale. Ou seja, se \mu \in P(T) for um ponto extremo, então será uma medida T-ergódica.

Teorema: Uma medida \mu \in P(T) é T-ergódica se, e somente se, \mu é um ponto extremo de P(T).

Demonstração:
Pelos comentários anteriores, basta mostrar que se \mu é T-ergódica, então toda combinação convexa
\mu = \alpha \nu + \beta \nu',
onde \nu, \nu' \in P(T), é trivial. Ou seja, assumindo sem perda de generalidade que \alpha \neq 0, vamos mostrar que \mu = \nu.

Note que \nu \ll \mu.

Afirmação 1: \nu é T-ergódica.

Tome E \subset X invariante. Então \mu(E) = 0 ou \mu(E^\complement) = 0. Pela continuidade absoluta temos que \nu(E) = 0 ou \nu(E^\complement) = 0.

Afirmação 2: Se \nu \ll \mu e ambas são T-ergódicas, então \nu = \mu.

Pelo teorema ergódico de Birkhoff, sabemos que existe um conjunto E \subset X, com \mu(E^\complement) = 0 tal que para todo x \in E, e todo A \in \sigma,
\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} \chi_A(x) \circ T \rightarrow \mu(A).

Do mesmo modo, existe F \subset X, com \nu(F^\complement) = 0 tal que o mesmo vale para \nu.

Observe que \mu(E^\complement) = 0 \Rightarrow \nu(E^\complement) = 0. Assim, \nu(E^\complement \cup F^\complement) = 0. E em particular, E \cap F \neq \emptyset. Tome então x \in E \cap F. Sabemos que para todo A \in \sigma,
\nu(A) = \lim \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} \chi_A(x) \circ T = \mu(A).

Segue da afirmação 2 que \nu = \mu. E portanto, \mu é um ponto extremo de P(T).

2 respostas para Pontos Extremos e Medidas Ergódicas

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