O Teorema de Baire

No post Aplicações Lineares em Espaços Normados, podemos perceber que para resolver questões como a “limitação uniforme” de uma família de aplicações lineares, ou para saber se determinada aplicação linear é aberta, é importante saber se determinados conjuntos possuem interior. Um resultado que garante que certos conjuntos possuem interior é o Teorema de Baire.

Em analogia com os espaços de medida, se a união enumerável de uma família de conjuntos mensuráveis tiver medida estritamente positiva, então ao menos um elemento dessa família também tem medida não nula. A união enumerável de uma família de conjuntos de medida nula é necessariamente um conjunto de medida nula. No Teorema de Baire, o análogo aos conjuntos de medida nula, são os conjuntos fechados com interior vazio. (ou então conjuntos cujo fecho tem interior vazio). Mostraremos que em espaços métricos completos, a união enumerável de fechados com o interior vazio também tem interior vazio. Espaços que possuem essa propriedade são chamados Espaços de Baire.

Definição: Um espaço topológico onde a união enumerável de fechados com interior vazio também tem necessariamente interior vazio é chamado de Espaço de Baire.

Exemplo: Em \mathbb{R}^3, por exemplo, nenhuma bola pode ser escrita como uma união enumerável de fechados com interior vazio. Em particular, nenhuma bola é uma união enumerável de esferas. As esferas são conjuntos que não possuem volume, enquanto que a bola possui.

Contra-exemplo: Os números reais são a união dos racionais e os irracionais. Ambos tem interior vazio. No entanto, nenhum dos dois é fechado.

Lema: São equivalentes as afirmações a respeito de um espaço topológico X:
1. A união enumerável de fechados com interior vazio tem interior vazio. (ou seja, X é Espaço de Baire)
2. A união enumerável de conjuntos cujo fecho tem interior vazio é um conjunto com interior vazio.
3. A interseção enumerável de abertos densos é densa.

Demonstração: A parte mais difícil é o item 3. Basta notar que um conjunto é fechado com interior vazio exatamente quando seu complemento é aberto denso.


Teorema de Baire: Um espaço métrico completo X é um espaço de Baire. Em particular, um espaço de Banach é um espaço de Baire.

Demonstração:
Deu uma preguiça enorme!!! Mas na Wikipedia tem.🙂


Princípio da Limitação Uniforme: Sejam X um espaço de Banach e Y um espaço normado. E seja T_\lambda: X \rightarrow Y uma família de aplicações lineares contínuas tais que para todo x \in X existe M_x \in \mathbb{R} tal que T_\lambda x \leq M_x para todo \lambda. Então a família T_\lambda é uniformemente limitada.

Demonstração:
Por hipótese,
X = \bigcup_{N \in \mathbb{N}} \bigcap_\lambda T_\lambda^{-1}(\overline{B_N}).
Pelo teorema de Baire, existe N \in \mathbb{N} tal que \bigcap_\lambda T_\lambda^{-1}(\overline{B_N}) tem interior.

Pelo post Aplicações Lineares em Espaços Normados, proposição 3, item 8, segue que a família T_\lambda é uniformemente limitada.

Corolário: Se X é um espaço de Banach e Y um espaço normado. E se T_n: X \rightarrow Y uma família de aplicações lineares contínuas tais que T_n converge pontualmente para uma aplicação T: X \rightarrow Y, então T é uma aplicação linear contínua.

Demonstração: É fácil ver que T é linear. Para ver que T é limitada, basta notar que \|T\| \leq \sup \|T_n\|. Mas este supremo é finito pelo princípio da limitação uniforme acima, pois a convergência pontual implica que T_n x é limitada para todo x \in X.


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