Teorema do Gráfico Fechado e Teorema da Aplicação Aberta

O gráfico de uma aplicação contínua com contra-domínio de Hausdorff é fechado. A recíproca, em geral, não é válida. Vamos mostrar que no entanto, se estivermos falando sobre uma aplicação linear T: X \rightarrow Y entre espaços de Banach, então se o gráfico de T em X \times Y (com a topologia produto) for fechado, a aplicação será contínua. Alternativamente, se T não for contínua, seu gráfico não será fechado.

Observação: Se T não é contínua, então poderemos exibir uma sequência x_n \rightarrow x tal que Tx_n \not \rightarrow Tx. A parte difícil do teorema do gráfico fechado é encontrar uma sequência x_n convergente, tal que Tx_n também seja convergente, mas que T(\lim x_n) \neq \lim Tx_n. Para isso, vamos precisar do teorema de Baire e da completude de X e Y. As caracterizações de aplicações lineares contínuas ou abertas que foram apresentadas anteriormente simplificam um pouco a demonstração.

Definição: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação entre os conjuntos X e Y. O gráfico de T é o conjunto G(T) = \{ (x, Tx) \in X \times Y: x \in X \}. Se X e Y são espaços topológicos, dizemos que o gráfico de T for fechado quando o conjunto G(T) for um subconjunto fechado de X \times Y equipado com a topologia produto.

Teorema do Gráfico Fechado: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear entre espaços de Banach. Então, o gráfico de T é fechado se, e somente se, T for uma aplicação contínua.

Demonstração:
Se T é contínua e (x, y) um ponto de acumulação de seu gráfico, então existe uma sequência (x_n, Tx_n) \rightarrow (x, y). Assim, x_n \rightarrow x e Tx_n \rightarrow y. Pela continuidade de T, temos também que Tx_n \rightarrow Tx. O fato de o contra-domínio Y ser espaço de Hausdorff implica que o limite de Tx_n é único e portanto, Tx = y. Ou seja, (x, y) pertence ao gráfico de T, que é portanto, fechado.

Vamos supor agora que T não seja contínua. Nossa estratégia será exibir uma sequência x_n \rightarrow x tal que Tx_n \not \rightarrow Tx, mas que no entanto, Tx_n seja convergente (ou seja, de Cauchy). Para construir T_x de Cauchy, vamos escrever x_n como uma série x_n = \sum_{j=0}^n y_n tal que:
1. Para n > 0, \|Ty_n\| < \frac{1}{2^n}.
2. \|Ty_0\| < 1.
Em particular, teremos que \limsup Tx_n < 2. Assim, para que Tx_n \not \rightarrow Tx, tomaremos x tal que \| Tx \| \geq 2.

Vamos denotar por B_\varepsilon a bola aberta de raio \varepsilon > 0 tanto em X quanto em Y. Pela caracterização de aplicações lineares contínuas, T^{-1}B_\varepsilon não possui interior para nenhum \varepsilon > 0. Mas pelo teorema de Baire, \overline{T^{-1}B_\varepsilon} tem interior para algum (e por linearidade, para todo) \varepsilon > 0.

Afirmação 1: Existe um \beta > 0, tal que para todo \varepsilon > 0, B_{\beta \varepsilon} \subset \overline{T^{-1}B_\varepsilon}.

Basta mostrar para \varepsilon = 2, pois os demais casos seguem por linearidade de T. Seja v ponto interior de \overline{T^{-1}B_1}. Sabemos que \overline{T^{-1}B_2} = \overline{T^{-1}B_1 - T^{-1}B_1} = \overline{T^{-1}B_1} - \overline{T^{-1}B_1}. Portanto, \overline{T^{-1}B_2} é vizinhança de v - v = 0. Ou seja, existe \beta > 0 tal que B_{2 \beta} \subset \overline{T^{-1}B_2}.

Tome x \in \overline{T^{-1}B_\frac{1}{2}} \setminus T^{-1}B_2. Note que x existe, pois o conjunto da esquerda tem interior e o da direita, não. Note também que \|Tx\| \geq 2. Vamos construir a sequência y_n.

Escolha y_0 \in x + B_\beta. Por simetria, x - y_1 \in B_\frac{\beta}{2}. Escolhido y_n \in B_\frac{\beta}{2^n} tal que x - \sum_{j=0}^n y_j \in B_\frac{\beta}{2^n}, escolha y_{n+1} \in B_\frac{\beta}{2^n} tal que x - \sum_{j=0}^{n+1} y_j \in B_\frac{\beta}{2^{n+1}}. Para ver que isso é possível, basta notar que (x + B_\frac{\beta}{2^{n+1}}) \cap (\sum_{j=0}^{n} y_j + B_\frac{\beta}{2^n}) é não vazio (faça um desenho). É evidente que:
1. x_n = \sum_{j=0}^n y_j \rightarrow x.
2. Pela afirmação 1, Ty_n \in B_\frac{1}{2^n}. Ou seja, Tx_n = \sum_{j=0}^n Ty_n é de Cauchy.
3. \|\lim T x_n\| = \lim \|\sum_{j=0}^n Ty_n\| \leq \\ \leq \sum_{j=0}^\infty \|Ty_n\| < \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{2^n} \leq 2.

Portanto, (x, \sum Ty_n) = \lim (x_n, Tx_n) é ponto de acumulação do gráfico de T, mas não pertence ao gráfico, pois \|\lim T x_n\| < 2 \leq \|T x\|. Concluindo a demonstração.


A partir do teorema do gráfico fechado, podemos demonstrar o seguinte teorema, chamado de teorema da aplicação aberta.

Teorema da Aplicação Aberta: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear sobrejetiva entre espaços de Banach. Então, T é contínua se, e somente se, é uma aplicação aberta.

Demonstração:
Vamos primeiro assumir que T é bijetiva. Neste caso, T^{-1}: Y \rightarrow X é uma aplicação linear cujo gráfico, que é a transposição do gráfico de T, é fechado! Portanto, T^{-1} é contínua. Ou seja, T é aberta.

O caso geral é feito considerando-se o espaço quociente \tilde{X} = X / \ker T. Não vou detalhar a construção, mas este espaço quociente é um espaço de Banach com norma \|x + \ker T\| = \inf_{n \in \ker T} \|x + n\|, pois, pela continuidade de T, \ker T é fechado. Esta construção pode ser vista no livro Analysis Now de Gert K. Pedersen.

É um fato simples de álgebra, que T pode ser fatorado em T = \tilde{T} \circ \pi, onde \pi: X \rightarrow \tilde{X} é a projeção natural (que é aberta, como toda projeção de quocientes de grupos topológicos) e \tilde{T}: \tilde{X} \rightarrow Y é contínua e bijetiva. Pela primeira parte da demonstração, \tilde{T} é uma aplicação aberta e portanto, T, como uma composição de aplicações abertas, é também aberta.

Observação: De fato, mostramos que o teorema da aplicação aberta é consequencia do seguinte teorema:
Teorema da Inversa Limitada: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear bijetiva entre espaços de Banach. Se T é contínua, então é um homeomorfismo.

Como este teorema é um caso particular do teorema da aplicação aberta, temos que os dois são equivalentes. A demonstração acima mostra essa equivalência (a parte não trivial) e o fato de que o teorema da inversa limitada é consequência imediata do teorema do gráfico fechado.

Observação: Parece ser mais comum que se demonstre o teorema da aplicação aberta como consequência do teorema de Baire e o teorema do gráfico fechado como consequência do da aplicação aberta. Escolhi um caminho alternativo e provavelmente mais complicado só pra exercitar.🙂

2 respostas para Teorema do Gráfico Fechado e Teorema da Aplicação Aberta

  1. andrecaldas disse:

    No final das contas quase não usei as tais equivalências…😦

    É que eu precisava mesmo é de \overline{T^{-1}B} ser vizinhança da origem. Mas a técnica é parecida.🙂

Deixe uma resposta

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s

%d blogueiros gostam disto: