Completude dos Espaços L^p

Considere uma medida \mu. É um tanto quanto fácil mostrar que o espaço normado (L^\infty(\mu), \| \cdot \|_\infty) é completo. O primeiro passo é mostrar que dada uma sequência de Cauchy f_n, esta sequência converge pontualmente para uma função f. É fácil ver que f \in L^\infty. Aí então, mostramos que \|f_n - f\|_\infty \rightarrow 0.

O caso 1 \leq p < \infty é semelhante. No entanto, neste caso, exibir o limite pontual de f_n não é tão simples. Vamos começar com um lema que, como sempre, poderia estar simplesmente embutido/escondido na demonstração.

Lema: Seja (X, \|\cdot\|) um espaço normado. Para que seja um espaço de Banach, é suficiente que toda série absolutamente convergente (\sum \|x_n\| < \infty) seja convergente.

Demonstração:
Seja y_n uma sequência de Cauchy. Podemos assumir que y_0 = 0. Faça N(0) = 0. E, para todo k > 0, escolha N = N(k) > N(k-1) tal que n \geq N \Rightarrow \|y_N - y_n\| \leq \frac{1}{2^k}. Assim, para k > 0, a série dada por x_k = y_{N(k)} - y_{N(k-1)} é absolutamente convergente. Por hipótese, a sub-sequência y_{N(k)} = \sum_{n=1}^{N(k)} x_n converge. Basta então notar que toda sequência de Cauchy que possui sub-sequência convergente converge para o mesmo limite.


Teorema: O espaço normado (L^p, \|\cdot\|_p), 1 \leq p < \infty é completo.

Demonstração:
Pelo lema anterior, basta mostrar que uma série absolutamente convergente dada pelos termos h_n é convergente. Dizer que a série dada por h_n é absolutamente convergente é o mesmo que dizer que existe M tal que \sum_{j=1}^n \|h_j\|_p \uparrow M.

Seja f_n = \sum_{j=1}^n h_j e g_n = \sum_{j=1}^n |h_j|.

Por ser crescente, g_n possui limite pontual (que pode ser infinito) g.

Afirmação 1: g \in L^p.

Pelo teorema da convergência monótona, como |g_n|^p \uparrow |g|^p, temos que \|g_n\|_p \rightarrow \|g\|_p. Então, \|g_n\|_p \leq \sum_{j=1}^n \|h_j\|_p \uparrow M, e em particular temos que g \in L^p.

Como g \in L^p, temos que o conjunto dos pontos onde g é infinito tem medida nula. Ou seja, a série h_n(x) converge absolutamente qtp. Em particular, f_n possui limite f qtp.

Afirmação 2: f \in L^p.

Temos que |f_n| \leq g_n \leq g. Ou seja, |f_n|^p \leq g_n^p \leq g^p \in L^1. Pelo teorema da convergência dominada, \|f\|_p = \lim \|f_n\|_p \leq \|g\|_p.

Afirmação 3: \|f_n - f\|_p \rightarrow 0.

Sabemos que f_n - f \rightarrow 0 pontualmente. Também é verdade que |f_n - f| \leq 2g. Novamente, pelo teorema da convergência dominada, \int |f_n - f|^p \rightarrow \int \lim |f_n - f|^p = \int 0 = 0.

A afirmação 3 concluí a demonstração.


O lema poderia de fato ter sido embutido na demonstração do teorema. Para isso, poderíamos por exemplo, bastava ter construído a série h_k = f_{N(k)} - f_{N(k-1)} a partir da sequência f_n, assumindo f_0 = 0.

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