Espaço Topologicamente Completo

Existe um conceito que é muito pouco popular em “topologia geral”. Esse conceito é de “espaço topologicamente completo”. A idéia é tornar “completude” um invariante topológico. Um espaço é topológicamente completo se existe uma métrica completa conivente com a topologia (ou seja, ele é homeomorfo a um espaço métrico completo).

Um espaço topologicamente completo  tem algumas propriedades bem interessantes (e, por isso, que eu insisto em trabalhar com ela):

Por exemplo,

1) Aberto de  espaço topologicamente completo é topologicamente completo;

2) Fechado de espaço topologicamente completo é topologicamente completo;

3) Interseção enumerável de abertos de um espaço topologicamente completo é topologicamente completo;

4) E, como um dos pontos principais, todo espaço topologicamente completo é de Baire;

Nesse post, eu demonstrarei alguns desses resultados e colocarei alguns pontos interessantes sobre a noção de espaço topologicamente completo. Durante o post, será definido noções como “espaço de Baire” e “conjunto magro”. Basicamente,  serão admitidos apenas alguns resultados básicos sobre espaços métricos completos.

Teorema 1: Todo aberto de um espaço métrico topologicamente completo é topologicamente completo.

Demonstração: Com efeito, se \displaystyle M é  um espaço topolgicamente completo e \displaystyle A\subset M é um aberto, mune-se \displaystyle M de uma métrica completa. Define-se a função contínua \displaystyle \phi : M\to \mathbb {R} , onde \displaystyle \phi (x) = d(x, M-A) .

Como \displaystyle \phi (x) > 0 para todo \displaystyle x\in A , segue que podemos definir \displaystyle f: A \to \mathbb {R} , onde \displaystyle f(x) = \frac{1}{ \phi (x) } . Tem-se que \displaystyle f é contínua.

Note que o gráfico da função \displaystyle f é a imagem inversa de \displaystyle \left\{ 1 \right\} pela função contínua \displaystyle F: M\times\mathbb{R} \to \mathbb{R} , onde \displaystyle F(x) =t\cdot\phi (x) . Logo o gráfico de \displaystyle f é um fechado de \displaystyle M\times \mathbb{R} e, como \displaystyle M\times \mathbb{R} é completo (por ser produto de completos) , segue que o gráfico \displaystyle G de \displaystyle f é completo com a métrica induzida.

Como o domínio de uma função contínua é homeomorfo ao seu gráfico, segue que \displaystyle A é homeomorfo a um espaço métrico completo \displaystyle G .

CQD


Teorema 2: Seja \displaystyle M um espaço topologicamente completo. Se \displaystyle F\subset M é fechado, então \displaystyle F é topologicamente completo.

Demonstração: Mune-se \displaystyle M de uma métrica completa. Um fechado de um completo é completo (evidentemente). Logo \displaystyle F , com a métrica induzida, é completo.

CQD


Teorema 3: Seja \displaystyle M um espaço topologicamente completo. Se \displaystyle \left\{A_i\right\} _{i\in\mathbb{N}} é uma família enumerável de abertos em \displaystyle M , segue que \displaystyle \displaystyle\bigcap _{i=1}^\infty A_i é topologicamente completo.

Demonstração: Com efeito, tem-se, pelo teorema já demonstrado, que todo aberto de M é topologicamente completo. Logo A_i é topologicamente completo para todo i\in\mathbb{N} . Mune-se A_i de sua métrica d_i completa. Logo \displaystyle\prod _{i=1}^\infty A_i com alguma das métricas produto (por exemplo, \displaystyle d(x,y)= \sum\frac{1}{2^n}d_n(x_n , y_n ) ) é completo.

Tem-se que a diagonal \displaystyle\Delta =\left\{ (x_n) : x_i = x_j\forall j,i\in\mathbb{N}, (x_n)\in \prod _{i=1}^\infty A_i \right\} é fechada em \prod _{i=1}^\infty A_i , logo \Delta é completo.

Define-se \displaystyle\phi : \Delta\to\bigcap _{i=1}^\infty A_i , onde \phi (x_n) = x_1 . Tem-se que \phi é obviamente um homeomorfismo.

CQD

Exemplos: Se X é um espaço topologicamente completo, todo subconjunto H de X tal que o complementar é enumerável é topologicamente completo (ou seja, se “tirarmos” uma “quantidade” enumerável de pontos de um espaço topologicamente completo, o espaço permanece topologicamente completo). Com efeito, basta ver que, se X-H é enumerável, então

\displaystyle H = \bigcap_{x\in X-H} X-\left\{ x\right\}

é uma interseção enumerável de abertos de X .

Segue disso que o conjunto dos números irracionais (munido da topologia usual) é topologicamente completo. Além disso, o conjunto dos números transcendentes (com a topologia usual) é topologicamente completo.

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Um subconjunto de um espaço topológico X diz-se magro se ele está contido numa reunião enumerável de fechados com interior vazio. Um espaço topológico diz-se de Baire se todo subconjunto magro possui interior vazio.

Leminha: Um espaço métrico M   é completo se, e somente se, toda seqüência decrescente de fechados não-vazios em M com diâmetro tendendo para 0 tem interseção unitária.

Demonstração: Vou assumir esse resultado. Mas a demonstração é de caráter trivial (assim como a maioria das demonstrações expostas nesse texto).

Teorema 4 (Teorema de Baire): Todo espaço topologicamente completo é de Baire.

Demonstração: Seja M um espaço topologicamente completo. Mune-se M de uma métrica completa. Se X\subset M é um conjunto magro, tem-se que

\displaystyle X\subset\bigcup_{i=1}^\infty F_i ,

para alguma família enumerável \left\{ F_i\right\} _{i\in\mathbb{N}} de fechados com interior vaizo em M . Logo \left\{ A_i \right\} _{i\in\mathbb{N} } , onde A_i = M-F_i , é uma família de abertos densos.

Para provar que X tem interior vazo, basta provar que \bigcup_{i=1}^\infty F_i tem interior vazio. E, para isso, podemos provar que \displaystyle A= \bigcap _{i=1}^\infty A_i é denso.

Dada uma bola aberta B\subset M , provemos que B\cap A é não-vazio. Por A_1 ser denso, tem-se que A_1\cap B é não-vazio e aberto. Logo existe uma bola B_1\subset A_1\cap B aberta de raio menor que 1 . Define-se indutivamente, B_{n+1} da seguinte forma: B_n\cap A_n é (aberto) não vazio por A_n ser denso, logo podemos tomar uma bola aberta B_{n+1} \subset B_n\cap A_{n+1} com raio menor que \displaystyle\frac{1}{(n+1)} .

Como M é completo, segue que \displaystyle\bigcap_{i=1}^\infty \overline{B_i} =\left\{ a\right\} , ou seja, a\in B_n\subset A_n para todo n\in\mathbb{N} , e a\in B_1\subset B . Portanto a\in B\cap A .

CQD

Teorema 5: Se X é um espaço de Baire e \displaystyle X=\bigcup_{i=1]}^\infty F_i , tem-se que int (F_j) é não-vazio para algum j\in\mathbb{N} .

Demonstração: Com efeito, caso X fosse uma reunião enumerável de fechados com interior vazio, seguiria que X tem interior vazio. Absurdo.

CQD

Teorema 6: Seja M um espaço topologicamente completo. Se \displaystyle M= \bigcup_{i=1}^\infty F_i , onde \left\{F_i \right\} _{i\in\mathbb{N}} é uma família de fechados em M , segue que  \displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty int F_i é denso em M .

Demonstração: Dado um aberto U\subset M , segue que U é topologicamente completo. Além disso, ele é escrito como a reunião enumerável de fechados em U :

\displaystyle U= U\cap \bigcup_{i=1}^\infty F_i = \bigcup_{i=1}^\infty (F_i\cap U ) .

Logo, por U ser de Baire, segue que int_U F_j = U\cap int F_j é não-vazio para algum j\in \mathbb{N} . Portanto \displaystyle U\cap\bigcup_{i=1}^\infty F_i é não vazio.

Isso provou que \displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty F_i é denso.

CQD

Exemplos: Todo espaço enumerável topologicamente completo tem, como conjunto (aberto e) denso, o conjunto dos pontos isolados. Com efeito, se X é um espaço topologicamente completo enumerável, segue que ele é a reunião enumerável de seus pontos. Logo a reunião dos interiores dos pontos é densa (ou seja, a reunião dos pontos isolados).

Segue desse exemplo que \mathbb{Q} não é topologicamente completo (com a topologia usual). Com efeito, \mathbb{Q} é enumerável e, no entanto, não possui pontos isolados (o conjunto dos pontos isolados é vazio). Pelo exemplo, se \mathbb{Q} fosse topologicamente completo, seguiria que \emptyset é denso em \mathbb{Q} : absurdo.

Analogamente, o conjunto dos números algébricos (com a topologia usual) não possui pontos isolados e é enumerável. Logo não é topologicamente completo.

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