Ponto Fixo de Banach

Um dos meus grandes interesses é em teoremas sobre pontos fixos. Parte do interesse nisso vem da grande aplicabilidade dos resultados. Um dos teoremas mais elementares sobre ponto fixo é o teorema de Banach. Será feito uma breve exposição desse teorema e de algumas de suas importantes aplicações: como o teorema da função inversa e um teorema de existência e unicidade de soluções para sistemas de EDO’s.

Seja M um espaço métrico. Uma contração é uma aplicação f:M\to M Lipschitziana, com constante  de Lipschitz no intervalo \left[ 0,1\right) . Ou seja, existe c\in \left[ 0 ,1\right) tal que

d(f(x),f(y) )\leq c\cdot d(x,y) .

Teorema 1 (Teorema do Ponto fixo de Banach): Seja \displaystyle M um espaço métrico completo. Toda contração \displaystyle f: M\to M possui um único ponto fixo (e ele é atrator).

Demonstração: Com efeito, seja \displaystyle M completo. Se \displaystyle f: M\to M é uma contração, toma-se \displaystyle \displaystyle x\in M e define-se \displaystyle \displaystyle y_n = f^n(x) .

Tem-se que \displaystyle d(y_1 , y_2) = d(f(x),f^2(x))\leq c\cdot d(x,f(x)) , onde \displaystyle c\in \left[0,1\right) .

Prova-se, então, por indução que \displaystyle \displaystyle d(y_n,y_{n+1} ) \leq c^n\cdot d(x, f(x)) .

Supondo por indução que \displaystyle d(y_n,y_{n+1} ) \leq c^n\cdot d(x, f(x)) , segue que

\displaystyle d(y_{n+1},y_{n+2} ) \leq c\cdot d(y_n,y_{n+1} ) \leq c^{n+1}\cdot d(x, f(x)) . Isso completa a prova por indução.

Portanto, dados \displaystyle n,p\in\mathbb{N} , tem-se que

\displaystyle d(y_n , y_{n+p} )\leq \sum_{i=1}^p d(y_{n+i-1}, y_{n+i})\leq \sum_{i=1}^p c^{n+i-1}\cdot d(x,f(x) )

\leq c^n\cdot d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1}\leq c^n d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1} .

Como \displaystyle \sum c^i é monótona crescente e, por \displaystyle c\in \left[ 0, 1 \right) , também é convergente, tem-se que \displaystyle \sum_{i=1}^p c^{i-1} é menor ou igual ao seu limite \displaystyle \frac{1}{1-c} . Portanto

\displaystyle d(y_n , y_{n+p} )\leq c^n d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1} \displaystyle \leq d(x,f(x))\cdot \frac{c^n}{1-c} .

Como \displaystyle lim c^n =0 , segue que, dado \displaystyle \varepsilon > 0 , consegue-se tomar \displaystyle n_0\in\mathbb{N} tal que \displaystyle n> n_0 e \displaystyle p\in \mathbb{N}   implique

\displaystyle d(y_n , y_{n+p} )\leq c^n d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1}\leq d(x,f(x))\cdot \frac{c^n}{1-c}\leq \varepsilon .

Ou seja, provamos que \displaystyle (y_n) é de Cauchy. Por \displaystyle M ser completo, isso implica que \displaystyle (y_n) converge.

Note que \displaystyle (f(y_n)) =(y_{n+1}) . Tem-se que \displaystyle lim f(y_n) = lim (y_n) .  Mas, por outro lado, por \displaystyle f ser contínua, tem-se que

\displaystyle lim f(y_n)=f(lim (y_n) ) . Portanto, pelo teorema da unicidade de limites (por M ser um espaço métrico), segue que  \displaystyle lim (y_n) = f(y_n)=f(lim (y_n) ) , id est, \displaystyle lim (y_n) é ponto fixo.

Isso provou a existência. Resta provar a unicidade. Basta ver que, se \displaystyle z,w\in M são pontos fixos distintos, tem-se que \displaystyle d(f(z),f(w))\leq c d(z,w) , ou seja, em particular, por \displaystyle c\in \left[0,1\right) ,

\displaystyle d(f(z),f(w)) < d(z,w) . Absurdo. Logo deveríamos ter \displaystyle z= w .

CQD


Leminha: Seja \displaystyle f: M\to M uma contração com constante de contração c . Se

\displaystyle r\geq\frac{d(a,f(a))}{1-c} , então a bola fechada \displaystyle B_a =B\left[ a; r\right] é invariante por f . Em particular, se M é completo, o ponto fixo de f está em B_a .

Demonstração: Com efeito, se \displaystyle f: M\to M é uma aplicação com constante de contração c . Dado a\in M , toma-se \displaystyle B_a =B\left[ a; r\right] . Dado x\in B_a , segue que

\displaystyle d(f(x), a)\leq d(f(a),a)+d(f(a),f(x))\leq d(f(a),a)+c\cdot d(a,x)

\displaystyle\leq d(f(a),a)+c\cdot\frac{d(a,f(a))}{1-c} = \frac{d(a,f(a))}{1-c} .

Isso provou que f(B)\subset B .

Em particular, se M é completo, tem-se que, pelo teorema de Banach, que f possui um único ponto fixo g\in M e, além disso, ele é atrator. Dado x\in B_a , toma-se a seqüência y_n = f^n(x) tem-se que (y_n) converge para esse ponto fixo g . Como B_a é fechado, segue que g\in B_a .

CQD


Lema 2 (Perturbação da identidade 1): Sejam E um espaço de Banach e \phi : E\to E uma contração. Segue que a aplicação f: E\to E , onde f(x)=x+\phi (x) , é um homeomorfismo.

Demonstração: Com efeito, primeiramente prova-se a sobrejetividade. Dado z\in E , segue que g: E\to E , g(x)=z-\phi (x) , é uma contração. Pelo teorema de Banach g possui um único ponto fixo. Ou seja, existe um único x_z\in E tal que x_z = z-\phi (x_z) , e isso quer dizer que existe um único x_z\in E tal que

f(x_z)=z=x_z+ \phi (x_z) .

Isso provou a sobrejetividade e injetividade de f .

Tem-se que, dados f(x), f(y)\in E ,

\left| f(x)-f(y)\right| \geq \left|x-y\right| - \left| \phi (x) - \phi (y)\right|

\geq \left| x-y\right| - c\left| x-y\right| = (1-c)\left| x-y\right| .

Isso prova a continuidade da inversa.

CQD


Lema 3 (Perturbação da identidade 2): Sejam E um espaço de Banach, U\subset E um aberto e \phi : U\to E uma contração. Segue que a aplicação f: U\to E , onde f(x)=x+\phi (x) , é um homeomorfismo sobre um aberto V\subset E .

Demonstração: Seja c uma constante de contração. Tem-se que, dados f(x), f(y)\in f(U) ,

\left| f(x)-f(y)\right| \geq \left|x-y\right| - \left| \phi (x) - \phi (y)\right|

\geq \left| x-y\right| - c\left| x-y\right| = (1-c)\left| x-y\right| .

Isso provou a injetividade e a continuidade da inversa. Ou seja, procou que f é um homeomorfismo sobre f(U) . Resta provar que f(U) é aberto em E .

Dado f(a)\in f(U) , segue que existe r>0 tal que B= B\left[ a;r\right]\subset U (por U ser aberto). Provemos que B( f(a); (1-c) r )\subset f(U) .

Dado y\in B(f(a); (1-c)r ) , segue que T_y : B\to E , onde T_y(x)=y-\phi (x) , é uma contração. Como B é fechado de um espaço de Banach, segue que é completo.   Tem-se que

\left|a-T_y(a)\right| = \left| a+\phi (a ) -y\right| = \left| y-f(a) \right| < (1-c)\cdot r .

Portanto, pelo leminha, segue que T_y (B )\subset B . Logo, pelo teorema do ponto fixo de Banach, T_y possui um único ponto fixo. Disso segue que existe x_y\in B tal que f(x_y) = y . Ou seja, y\in f(U) . Isso completou a prova de que B(f(a); (1-c)r )\subset f(U) . E isso, por sua vez, completou a prova de que f(U) é aberto.

CQD

Corolário do lema 3: Sejam U\subset\mathbb{R} ^m um aberto e f:U\to\mathbb{R}^m uma aplicação da forma f(x) = T\cdot x + \phi (x) , onde T:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m é um isomorfismo de espaços vetoriais e \phi : U\to\mathbb{R}^m é lipschitziana. Se a constante k de Lipschitz de \phi   é tal que \left\| T^{-1} \right\|\cdot k <1 , segue qye f é um homeomorfismo de U sobre um aberto f(U)\subset\mathbb{R}^m .

Demonstração: Com efeito, dados x,y\in U , tem-se que

\left| T^{-1}\cdot \phi (x)-T^{-1}\cdot \phi (y)\right| \leq

\left\| T^{-1}\right\| \left| \phi (x)-\phi (y)\right|\leq \left\| T^{-1}\right\|\cdot k\cdot \left| x-y\right| .

Isso provou que T^{-1}\cdot f é uma perturbação da identidade, pois

T^{-1}\cdot f (x) = x + T^{-1}\cdot \phi (x) . Logo, pelo lema demonstrado, T^{-1}\cdot f é um homeomorfismo de U sobre o aberto T^{-1} f(U)\subset\mathbb{R}^m . Como T é um isomorfismo de espaços vetoriais, segue que f é um homeomorfismo de U sobre o aberto f(U) .

CQD

Teorema 4 (Teorema da Função Inversa): Sejam U\subset \mathbb{R}^m um aberto e f: U\to\mathbb{R}^m de classe C^k tal que, em um ponto x_0\in U , f''(x_0) é um isomorfismo. Então f é um difeomorfismo de classe C^k de uma vizinhança V de x_0 sobre uma vizinhança U de f(x_0) .

Demonstração: Apenas para facilitar notação, sem perda de generalidade, supomos f'(0) é um isomorfismo e f(0)=0 . Segue que f(x) = f'(0)\cdot x + r(x) .

Note que r(x) = f(x)- f'(0)\cdot x é de classe C^k . Além disso, r'(0) = 0 . Seja \lambda < \frac{1}{\left| f'(0)\right| } . Segue que existe uma bola aberta V centrada em 0 tal que:

1) \left| r'(x)\right| <\lambda   para todo x\in V (basta usar a continuidade de r' );

2)f'(x) é um ismorfismo para todo x\in V (basta usar a continuidade de f' ).

Pela desigualdade do valor médio, \left| r(x)-r(y)\right| \leq \lambda \left| x-y\right| para todo x,y\in V . O corolário acima nos diz que f|_V é um homeomorfismo sobre um aberto f(V)= U\subset\mathbb{R}^m (vizinhança de f(0) ).

Provemos que g=f^{-1}: W\to V é diferenciável. Para isso, devemos provar que \displaystyle\frac{s(k)}{ \left| k\right| } = 0 , onde g(y+k) = g(y)+(f'(x))^{-1}\cdot k + s(k) .

.. .. ..

Teorema 6 (Teorema da Existência e Unicidade): Seja E um espaço de Banach. Suponha que f: L\times B\to E , onde B\subset E é uma bola fechada centrada em x_0 (com raio \beta ) e L\subset\mathbb{R} é um intervalo fechado centrado em t_0 (com raio \alpha ), é uma aplicação contínua limitada por M cumprindo a condição de Lipschitz \left| f(t, x) - f(t,y)\right|\leq c\cdot\left| x-y\right| para todo (t,x), (t,y) \in L\times B . Segue que existe uma única aplicação \phi: I\to E , onde I é centrado em t_0 (com raio min\left\{ \alpha , \frac{\beta }{M}\right\} ), diferenciável (de fato, C^1 ) que cumpre \phi ' (t) =f(t, \phi (t) ) e \phi (t_0)=x_0 .

Demonstração:

2 respostas para Ponto Fixo de Banach

  1. […] que isso diferencia muito os teoremas de ponto fixo de Brouwer dos teoremas de ponto fixo de Banach. Os teoremas de Banach impõem condições a mais sobre a função (além da continuidade) para […]

  2. […] Fixo de Banach: espaços compactos Além do teorema de ponto fixo de Banach apresentado no post anterior, existe uma “outra versão” do teorema do ponto fixo de Banach: esse eu chamo de Banach […]

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