Ponto Fixo de Brouwer

Um espaço topológico X tem a “propriedade de ponto fixo” quando toda aplicação contínua f: X\to X possui ponto fixo. Os teoremas de Brouwer falam que certos subconjuntos de “certos” espaços vetoriais normados tem a propriedade de ponto fixo.

Note que isso os diferencia muito dos teoremas de ponto fixo de Banach. Os teoremas de Banach tomam por hipótese condições a mais sobre a função (além da continuidade) para garantir a existência do ponto fixo e, portanto, não diz nada sobre o espaço possuir propriedade do ponto fixo…

Afirmação 1: A propriedade do ponto fixo é uma propriedade topológica.

Demonstração: Com efeito, se X possui propriedade do ponto fixo e Y é homeomorfo a X , dada uma aplicação contínua f:X\to X , segue que \phi\circ f \circ \phi ^{-1} : Y\to Y , onde \phi : X\to Y é um homeomorfismo, é contínua. E, portanto, existe x\in X tal que \phi\circ f \circ \phi ^{-1} (x) = x . Isso quer dizer que f(\phi ^{-1} (x)) = \phi ^{-1} (x) . Ou seja, \phi ^{-1} (x)\in Y é ponto fixo de f . Isso completou a prova de que Y possui propriedade do ponto fixo.

CQD

Aqui, o objetivo é demonstrar algumas versões do teorema do ponto fixo de Brouwer. Note que, como a propriedade de ponto fixo é uma propriedade topológica, quando for provado que um espaço X possui propriedade de ponto fixo, segue que todo espaço homeomorfo a X também a tem. No caso, será provado que a bola fechada B^{n+1} possui propriedade de ponto fixo e, então, isso quer dizer que todos os espaços homeomorfos à bola fechada possuem propriedade do ponto fixo; como, por exemplo, os compactos convexos de interior não vazio de \mathbb{R} ^n .

O primeiro teorema será o caso trivial: o teorema o ponto fixo de Brouwer na reta. Para o teorema na reta, abaixo, serão apresentadas duas demonstrações.

Há uma interpretação geométrica fácil do teorema do ponto fixo de Brouwer na reta. Ele diz que não é possível “ligar” dois lados paralelos do quadrado por uma linha (contínua) sem intersectar a diagonal do quadrado.

Teorema 1 (Brouwer na Reta): Seja f: I\to I uma aplicação contínua, onde I\subset\mathbb{R} é um intervalo fechado. Segue que f possui ponto fixo.

Demonstração 1: Com efeito, seja I=\left[ a,b \right] , define-se \phi : I\to\mathbb{R} , onde \phi (x) = f(x)-x . Decidir se f possui ponto fixo se resume a decidir se \phi possui raiz. Como f(a)\geq a e f(b)\leq b , tem-se que \phi (a)\geq 0 e \phi (b)\leq 0 . Do teorema do valor intermediário, infere-se que existe c\in I tal que \phi (c) = 0 .

Disso segue que f(c)=c .

CQD

Demonstração 2: Com efeito, supõe-se por absurdo que existe f: \left[ -1,1\right]\to \left[ -1,1\right] contínua sem pontos fixos. Disso segue que pode-se definir G:\left[ -1,1\right]\to \left\{ -1,1\right\} , \displaystyle G(x) = \frac{ x-f(x)}{\left| f(x) - x\right|} . Por f ser contínua, segue que G é contínua.

Nota-se que  G(1) = 1 e G(-1) = -1 . Em particular, segue que G( \left[ 0,1\right] ) = \left\{ 0,1\right\} . Mas \left[ 0,1\right] é conexo e \left\{ 0,1\right\} não. Como G é contínua, isso constitui um absurdo.

Portanto existe c\in\left[ 0,1\right] tal que f(c) = c .

CQD

Sejam X um espaço topológico e A\subset X um subespaço. Uma aplicação r: X\to A que é extensão contínua da aplicação identidade id: A\to A é chamada de retração. Neste caso, se existe uma retração r: X\to A , A é chamado de retrato de X . Por exemplo, um ponto sempre é retrato do espaço que o contém.

Note que a demonstração 2 acima usou o fato de que um espaço a fronteira de um intervalo fechado não é retrato do espaço todo. Mais, geralmente, o argumento usou que um espaço conexo X não possui retratos desconexos: isso é óbvio do fato de que, se A é desconexo, não existe aplicação contínua r: X\to A sobrejetiva.

Os argumentos para demonstrar os teoremas de Brouwer nos casos mais gerais estão ligados com o fato de S^n não ser contrátil. Isso é equivalente a dizer que a identidade em S^n não é homotópica a nenhuma aplicação constante e, pelo teorema de extensão em S^n , isso é equivalente a dizer que S^n não é retrato de B^{n+1} .

A demonstração para o caso de dimensão 2 já exige que usemos o fato de S^1 não ser contrátil. Há algumas provas para esse fato:

Pode-se, por exemplo, ver que \pi _ 1 (S^1) = \mathbb{Z} e, por o grupo fundamental ser um invariante por tipo de homotopia, segue que  S^1 não tem o mesmo tipo de homotopia que um ponto, ou seja, não é contrátil (esse argumento será comentado em detalhes em um futuro post). De outra forma, usando homologia é possível provar que S^1 não é retrato de B^2 .

No entanto, a prova desse fato será adiada para outro post (com os dois argumentos).

Para demonstrar o teorema do ponto fixo de Brouwer de dimensão 2, será usado um argumento que vale para todas as dimensões pares.  Para argumentar dessa forma, será preciso recorrer a um resultado sobre esferas de dimensão ímpar. A demonstração para o caso geral de dimensão n não fará uso desse resultado, mas optei por colocar um argumento diferente no caso de dimensão 2 para apresentar os dois tipos de argumento.

Então o próximo teorema será o teorema do ponto fixo de Brouwer para dimensão 2. Primeiramente, prova-se a seguinte afirmação:

Afirmação 2: Se n é ímpar, então a aplicação antípoda \alpha : S^n\to S^n é homotópica à aplicação identidade id : S^n\to S^n .

Demonstração: Se n= 2k-1 , então S^n é homeomorfo a

\left\{ (u_1, \ldots , u_k ) : u_1, \ldots , u_k\in\mathbb{C}\mbox{ e } \left| u_1\right| ^2+ \cdots + \left| u_k\right| ^2=1\right\} (munido da topologia produto). Define-se a ação do grupo topológico S^1 em S^n tal que z\cdot (u_1, \ldots , u_k ) = (zu_1, \ldots , zu_n)\in S^n .

E, assim, fica fácil de ver que H: S^n\times I\to S^n , onde H(z,t) = e^{t\pi i}\cdot z é uma homotopia entre a aplicação antípoda e a aplicação identidade.

CQD

É interessante observar que a propriedade acima vale apenas para n ímpar. No sentido de que, se n é par, então a aplicação antípoda não é homotópica à aplicação identidade. Ou seja, n é ímpar se, e somente se, a aplicação identidade id : S^n\to S^n é homotópica à aplicação antípoda. No entanto, não será utilizado na demonstração esse fato: só será utilizada a afirmação 2 .

Teorema 2 (Brouwer no plano): Se f: B^2\to B^2 é uma aplicação contínua, então f possui ponto fixo.

Demonstração: Com efeito, supõe-se que existe f: B^2\to B^2 contínua que não admita pontos fixos. Disso, segue que pode-se definir G: B^2\to S^{1} tal que \displaystyle G(x) = \frac{ f(x)-x}{\left| f(x)-x\right| } . E é fácil ver que g é contínua e não possui pontos fixos. E, da mesma forma, g=G|_{S^1} é contínua e não possui pontos fixos.

Logo segue que g é homotópico à aplicação antípoda (por não possui pontos fixos). E, pela afirmação 2, segue que g é homotópico à aplicação identidade. Como S^1 não é contrátil, a aplicação identidade não é homotópica a nenhuma aplicação constante. Logo g não é homotópico a nenhuma aplicação constante e, portanto, não possui extensão contínua em B^2 : absurdo, pois G seria essa extensão.

CQD

Como foi dito anteoriormente, as demonstrações do ponto fixo de Brouwer em dimensão n+1 exigem que seja demonstrado o fato de que S^{n} não é contrátil. Para provar isso no caso geral, há algumas formas. Por exemplo, usando homotopia ou usando homologia. Usando homologia prova-se que S^{n} não é retrato de B^{n+1} (e, como foi comentado, isso é equivalente a dizer que S^n não é contrátil). Usando grupos de homotopia, no caso em que n>1 , complica um pouco. Isso porque não podemos usar argumento igual ao de n=1 , pois, para n> 1 , o grupo fundamental de S^n é trivial. Portanto é possível usar grupo fundamental para o caso geral.

Tem-se que grupos de homotopia são, também, invariantes por tipo de homotopia (isso será comentado em um outro post), logo, mostrando que que algum grupo de homotopia S^n não é trivial, fica demonstrado que S^n não tem o mesmo tipo de homotopia que um ponto (não é contrátil). Mas, na verdade, tem-se que \pi _ n(S^n) não é trivial, portanto mostrar isso seria um jeito de usar homotopia para provar que S^n não é contrátil. A prova desses fatos serão adiados para um outro post.

Assumindo o fato de que S^n não é contrátil para todo n natural, vê-se que o argumento do teorema anterior prova o teorema do ponto fixo de Brouwer para o caso de dimensão par (dimensão da bola fechada).

Segue o enunciado e a demonstração do teorema do ponto fixo de Brouwer para o dimensão n qualquer. Será fácil de perceber que o argumento usado é geral e engloba inclusive os casos de dimensão 1 e 2 já demonstrados.

Teorema 3 (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer):

Se f: B^{n+1}\to B^{n+1} é uma aplicação contínua, então f possui ponto fixo.

Demonstração: Com efeito, supõe-se por absurdo que existe uma aplicação contínua f: B^{n+1}\to B^{n+1} contínua que não admita pontos fixos. Define-se, então, G: B^{n+1}\to S^n , onde G(x) é o ponto de S^n tal que a semi-reta que liga f(x) a x tem interseção. Isso é ilustrado na figura. Fazendo as contas para G(x) (pode usar produto interno para ficar direto), fica fácil notar que G é contínuo.

Logo G seria uma retração. Como S^n não é retrato de B^{n+1} , segue o absurdo.

Portanto existe c\in B^{n+1} tal que f(c) = c .

CQD

7 respostas para Ponto Fixo de Brouwer

  1. […] Abaixo segue o teorema central deste post. Este teorema é utilizado na maioria dos posts sobre topologia. Em particular, o teorema do ponto fixo de Brouwer. […]

  2. André Caldas disse:

    Oi, Fernando!

    A segunda demonstração é um pouco complicada… talvez seja mais interessante usar “conexidade”. Note que G é uma aplicação contínua com domínio conexo. Portanto sua imagem é conexa. No entanto, G(1) = 1 e G(-1) = -1 implicam que sua imagem é \{-1,1\}. Aí você evita o argumento de homotopia…

    Também acho que você deveria ter usado o intervalo [a,b] ao invés de [-1,1].

    Um abraço,
    André Caldas.

  3. Lucatelli disse:

    André, a idéia que tive para a segunda demonstração foi usar um argumento análogo que vou usar para o caso de dimensão n (meio que para familiarizar com o argumento). Por isso, que a coloquei. =)
    Mas, agora, diante de sua observação, percebi que, de fato, tenho que mudar isso.🙂
    Talvez eu faça o argumento no caso 2 para familiarizarem com o argumento. =)

    Bom, valeu pela crítica! =) Eu vou mudar e escrever esse post ainda… Então, se puder, dá uma olhada em outros momentos também.

    Obs.: Vou usar a conexidade direto. =)

    Obrigado pelo comentário,
    Abraço,

    Fernando

  4. […] do ponto fixo de Brouwer. Ela não tem a construção bonita da demonstração do teorema 3 do post. Mas tem sua beleza em sser uma prova direta e […]

  5. […] Aplicações homotópicas em S^n Sejam a esfera de dimensão e um espaço topológico qualquer. Algumas coisas são fáceis de deduzir sobre classes de homotopia de aplicações contínuas . Aqui, neste post, será apresentado um resultado de natureza elementar e algumas conseqüências imediatas. Esse primeiro resultado (e algumas de suas conseqüências) foi assumido na maioria dos posts que trabalharam com (por exemplo, ponto fixo de Brouwer 1 e ponto fixo de Brouwer 2). […]

  6. […] de Schauder-Brouwer. Ele diz que, sendo um espaço vetorial normado, todo compacto convexo possui propriedade do ponto fixo. Esse teorema é, na verdade, apenas uma generalização do teorema do ponto fixo de Brouwer. Note […]

Deixe uma resposta

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s

%d blogueiros gostam disto: