Topologia Compacto-Aberta

Já faz um bom tempo que estou devendo um post sobre esse assunto para o André. Ele me pediu isso há mais de um semestre. Nesse post, vou fazer uma exposição breve e limitada sobre o assunto. Pretendo colocar uma exposição mais detalhada sobre o assunto num post com título “Espaço de Funções”.

Seja F uma família de funções f:X\to Y . Tem-se que F\subset Y^X

A) A topologia da convergência pontual em F é a topologia de subespaço induzida por Y^X (onde Y^X é munido da topologia produto).

Observação 1: Nessa “notação”, tem-se que a topologia de convergência pontual é a menor topologia que torna

e_x : F\to Y , e_x (f) = f(x) contínua (para todo x\in X ) .

Observação 2: Quando F é uma família de funções f: X\to Y e está munido da topologia da convergência pontual, é de fácil verificação que: uma função g:W\to F é contínua se, e somente se, e_x\circ g é contínua para todo x\in X .

Observação 3: Seja F um espaço de funções f: Se latex Y $ é Hausdorff, F é Hausdorff.

B) A topologia compacto-aberta em F é a topologia gerada pela subbase formada pelos conjuntos W(K,U) com K\subset X é compacto e U\subset Y é aberto .

(obs.: W(K,U) = \left\{ f\in F : f(K)\subset U \right\} )

Observação 1: É fácil ver que topologia compacto aberta é maior que a topologia de convergência pontual.

Observação 2: Se Y é Hausdorff, F munido da topologia compacto-aberta é Hausdorff (afinal, a topologia compacto-aberta é maior que a topologia de convergência pontual).

Observação 3: Pela rigidez Hausdorff-Compacto, se Y é Haudorff e F munido da topologia compacto-aberta é compacto, então a topologia compacto-aberta coincide com a topologia da convergência pontual.

Teorema 1: Seja X um espaço localmente compacto Hausdorff. Se F\subset C(X; Y) está munido da topologia compacto-aberta, então

\displaystyle e: X\times F\to Y , onde e(x,f)=f(x) ,

é contínua.

Demonstração: Dados (y,g)\in X\times F e uma vizinhança V de g(y) , tem-se que existe uma vizinhança N (em X ) de y tal que g(N)\subset V . Como X é localmente compacto, segue que existe uma vizinhança U compacta de x tal que U\subset N .

E, portanto, f(U)\subset V .

Logo e(int U\times W(U,V) ) \subset V . Isso provou que e é contínua.

CQD

Teorema 2: Seja f:X\times Z \to Y uma função contínua. Segue que F: Z\to C(X;Y) , onde F(z)=f_z tal que f_z(x) = f(x,z) , é contínua (quando C(X; Y) está munido da topologia compacto-aberta).

A recíproca do teorema é verdadeira quando X é localmente compacto Hausdorff.

Demonstração: Com efeito, dados z\in Z e uma vizinhança W(K,U) de F(z) , tem-se

f(K\times\left\{ z\right\} )\subset U .

Pela continuidade de f , tem-se que f^{-1} (U) é aberto. Logo

T = (K\times Z )\cap f^{-1} (U)\supset K\times\left\{ z\right\}

é tal que f(T)\subset U .

Tem-se que T é aberto em K\times Z , logo existe uma vizinhança (aberta) V de z tal que f(K\times V )\subset U .
Portanto F(V) \subset W(K,U ) .

Isso procou que F é contínua.

Se X é Hausdorff localmente compacto e F: Z\to C(X;Y) é contínua, então

f=e\circ (Id_X\times F ): X\times Z \to Y ,

onde Id_ X é a identidade em X ,  e e: X\times C(X;Y)\to Y é a função valoração (que é contínua segundo o teorema anterior).

Disso segue que f é composição de aplicações contínuas e, portanto, é contínua.

CQD

Observação interessante: Note que, se duas aplicações contínuas f,g: X\to Y são homotópicas, então f e g estão na mesma componente conexa por caminhos no espaço C(X;Y) munido da topologia compacto-aberta (pelo teorema precendente).

E, pelo teorema precendente, a recíproca vale quando X é Hausdorff localmente compacto.

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