Homotopia de (alguns) Grupos de Matrizes

Esse post foi motivado por um exercício de um livro sobre “Grupo Fundamental”.

O objetivo é mostrar que GL^+(n) , SL(n) e SO(n) possuem o mesmo tipo de homotopia; onde GL^+(n) é o grupo das matrizes (com entradas reais) com determinante positivo, SL(n) é o grupo linear especial (determinante 1) e SO(n) é o grupo das matrizes ortogonais com determinante positivo.

Denota-se X\equiv Y quando o espaço topológico X possui o mesmo tipo de homotopia do espaço Y . E denota-se f\approx g quando f e g são aplicações contínuas homotópicas. Nesse caso, a homotopia entre f e g é denotada por H: f\approx g .

Um espaço é contrátil quando ele possui o mesmo tipo de homotopia de um ponto.

Proposição 1: Um espaço topológico é contrátil se, e somente se, a aplicação identidade é homotópica a uma aplicação constante.

Demonstração: Se X é contrátil, sejam f: X\to\left\{ p\right\} uma equivalência homotópica e g:\left\{ p\right\} \to X sua inversa homotópica. Note que g\circ f é constante. E, por hipótese, (g\circ f)\approx Id_X .

Reciprocamente, seja k : X\to X uma aplicação constante homotópica à identidade. Supõe-se k(x) = p . Tem-se que f: X\to\left\{p\right\} é uma equivalência homotópica. Com efeito,

(g\circ f) =k\approx Id_X e (f\circ g) = Id_{\left\{ p\right\} }, onde g é a aplicação de inclusão g: \left\{ p\right\}\to X .

CQD


Proposição 2: Sejam X,Y espaços topológicos. Se X é contrátil, então X\times Y e Y possuem o mesmo tipo de homotopia.

Demonstração: Com efeito, seja H: Id_X\approx k uma homotopia entre a aplicação identidade em X e uma aplicação constante k: X\to X , k(x)=p .

Y é homemorfo a \left\{ p\right\}\times Y . Então basta provar que \left\{ p\right\}\times Y tem o mesmo tipo de homotopia que X\times Y . Define-se

f: X\times Y \to \left\{ p\right\}\times Y , f(x,y) = (p,y)

g: \left\{ p\right\}\times Y \to X\times Y , g(p,y) = (p,y) .

Note que (f\circ g)=Id_{\left\{ p\right\} } . Resta provar que (g\circ f)\approx Id_{(X\times Y)} .

Com efeito, define-se L: (X\times Y)\times I\to ( X\times Y) , onde L((x,y),t) = (H(x,t), y) . Note que, de fato, isso é uma homotopia entre Id_{X\times Y} e (g\circ f) = k\times Id_Y .

CQD


Proposição 3: Sejam E um espaço vetorial normado. Todo subconjunto convexo de E é contrátil. Em particular, todo espaço vetorial normado é contrátil.

Demonstração: Com efeito, seja C\subset E um subconjunto convexo. Escolhe-se p\in C . Tem-se que H: C\times I \to C , onde H(x,t)= \left| tx + (1-t) p\right| é uma homotopia entre a a aplicação constante em p e a identidade.

Logo, pela proposição 1, tem-se que C é contrátil. Isso completou a prova de que conjuntos convexos são contráteis.

Em particular, todo espaço vetorial normado é convexo. Logo é contrátil.

CQD


Proposição 4: SL(n)\equiv GL^+(n) \equiv SO(n) .

Demonstração: Com efeito, define-se f: GL^+(n)\to SL(n)\times\mathbb{R}^+ , onde \displaystyle f(h)= \left( \left( \frac{1}{ \sqrt[n]{det (h)} } \right) h, det (h)\right) .

Note que f é contínua. Além disso, g: SL(n)\times\mathbb{R}^+\to GL^+(n) , com g(h, r) = \left( \sqrt[n]{r}\right) \cdot h , é a inversa de f (e é obviamente contínua). Logo f é um homeomorfismo. Em particular,  SL(n)\times \mathbb{R}^+\equiv GL^+(n) .

Como \mathbb{R}^+ é contrátil (por ser um subconjunto convexo de um espaço vetorial normado), segue, pela proposição 2, que

SL(n)\equiv SL(n)\times \mathbb{R}^+\equiv GL^+(n) .

Para provar a segunda equivalência, definem-se

D: GL^+(n)\to P\times SO(n) , D(g)=(p,u) ,

onde P é o conjunto das matrizes positivas defnidas, e g=pu é a decomposição polar de g . Como \forall g\in GL^+(n) , g é inversível, segue que a decomposição é única. Além disso, o determinante de g\in GL^+(n) é positivo, o que implica que a matriz orotogonal u da decomposição polar está em SO(n) . Portanto D está bem definida.

Tem-se que

D_1 : GL^+(n)\to P , D_1(g)= \sqrt {gg^T}

D_2: GL^+(n)\to SO(n) , D_2(g) = \left( \sqrt{gg^T}\right) ^{-1} g .

Note que D_1 e D_2 são contínuas (são composições de aplicações contínuas). Portanto D é contínua.

Além disso, é fácil verificar que D é bijetiva. De fato, dados D(g)=D(h)=(p,u)\in D(GL^+(n) ) , segue que  g=h=pu . Isso provou a injetividade. Por outro lado, dado (p,u)\in P\times SO(n) , tem-se que p e u tem determinantes positivos, logo pu=g\in GL^+(n) . E, pela unicidade da decomposição polar, tem-se que D(g)=(p,u) . Isso provou a sobrejetividade.

Note que a inversa D^{-1}: SO(n)\times P\to GL^+(n) é o produto de matrizes e, então, contínua. Portanto D é um homeomorfismo. Em particular, SO(n)\times P tem o mesmo tipo de homotopia que GL^+(n) .

Temos que P é convexo. Afinal, dados p,q\in P e t\in\left[ 0,1\right] , tem-se que

tp + (1-t)q é simétrica. Além disso, dado v\in\mathbb{R}^n , tem-se que

v^T(tp+(1-t)q)v= t(v^Tpv) + (1-t)(v^Tqv)

E, como (v^Tpv)>0 , (v^Tqv)>0 , t>0 e (1-t)>0 , segue que

v^T(tp+(1-t)q)v= t(v^Tpv) + (1-t)(v^Tqv)>0

Isso provou que tp+(1-t)q\in P . E, portanto, completa a prova de que P é convexo.

Tem-se, então, que P é contrátil. Pelo provado, então, tem-se que

SL(n)\equiv GL^+(n)\equiv P\times SO(n)\equiv SO(n)

CQD

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