Ponto Fixo de Banach: espaços compactos

Além do teorema de ponto fixo de Banach apresentado no post anterior, existe uma “outra versão” do teorema do ponto fixo de Banach: esse eu chamo de Banach para compactos. As diferenças são:

1) Não é exigido, na hipótese, que a função seja um contração: é exigido uma condição mais fraca;

2) Exige-se que o espaço seja compacto.

Teorema 1: Sejam K um espaço métrico compacto e f: K\to K um aplicação que satisfaz d(f(x),f(y)) < d(x,y) para todo par de pontos distintos x,y\in K . Segue que f possui um único ponto fixo.

Demonstração: Com efeito, seja h: K\to\mathbb{R} , h(x) = d(f(x),x) . Como f é contínua, segue que h é contínua (por ser composição de aplicações contínuas). Logom como h está definida num compacto, segue que possui um máximo e um mínimo.

Seja x_0\in K o ponto em que h assume seu mínimo.  Se, por absurdo, f(x_0)\neq x_0 , segue que

0< d(x_0,f(x_0))=h(x_0)\leq h(f(x_0) ) = d(f(x_0), f^2 (x_0))

Isso implica f(x_0)\neq f^2 (x_0 ) e, portanto, pela hipótese, tem-se

d(f^2(x_0),f(x_0))<d(f(x_0),x_0) . Absurdo.

Logo deve-se ter que f(x_0) =x_0 .

Para provar a unicidade, supõe-se que x_0, y_0\in K são tais que f(y_0)=y_0 e f(x_0) = x_0 . Logo d(f(x_0),f(y_0)) = d(x_0. y_0) . Pela hipótese, segue que x_0=y_0 .

CQD

Uma resposta para Ponto Fixo de Banach: espaços compactos

  1. […] muito os teoremas de ponto fixo de Brouwer dos teoremas de ponto fixo de Banach. Os teoremas de Banach impõem condições a mais sobre a função (além da continuidade) para garantir a existência do […]

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