Bolzano-Weierstrass em R^n

Bom, eu acho que já fiz um post sobre isso. No entanto, acho que encontrei uma forma mais elegante de expor.

Será usado uma coisa fácil de provar: a topologia de \mathbb{R} ^n munido da norma do máximo é a topologia produto (a norma do máximo induz a topologia produto).

Duas normas num espaço vetorial são chamadas equivalentes, quando as métricas provenientes dessas métricas são equivalentes. Isso implica, por exemplo, que se uma seqüência num espaço vetorial é convergente numa norma específica, então ela é convergente em qualquer norma equivalente a essa norma.

Teorema (Bolzano-Weierstrass): Toda seqüência limitada de vetores em R^n (munido da norma do máximo (ou de qualquer uma equivalente)) possui uma subseqüência convergente.

Demonstração: Com efeito, faz indução sobre n . O teorema de Bolzano-Weierstrass vale para \mathbb{R} (munido da norma do máximo). Supõe-se que o teorema é verdadeiro para n-1 , ou seja, toda seqüência limitada em \mathbb{R}^{n-1} munido da norma do máximo, possui uma subseqüência convergente. Logo, dada uma seqüência limitada (u_m) em \mathbb{R} ^n (munido da norma do máximo), note que (v_m) é limitada em \mathbb{R}^{n-1} , onde, para cada m\in\mathbb{N} , v_m = (u_{m_1}, \ldots , u_{m_{n-1}} )

(as primeiras n-1 coordenadas de u_m ).

Como \max _{i=1}^n \left| u_{m_i}\right| \geq \max _{i=1}^{n-1} \left| u_{m_i}\right| para todo m\in\mathbb{N} , segue que (v_m) é limitada. Pela hipótese, segue que existe um conjunto infinito N_1\subset\mathbb{N} de índices tal que (v_m)_{m\in N_1} converge, portanto cada coordenada converge. Analogamente, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass na reta, existe um conjunto N_2\subset N_1 infinito de índices que torna (u_{m_n})_{m\in N_2} convergente em \mathbb{R} .

Logo tem-se que  todas as coordenadas de (u_m)_{m\in N_2} convergem, ou seja, (u_m)_{m\in N_2} converge em \mathbb{R} ^n .

CQD


Uma resposta para Bolzano-Weierstrass em R^n

  1. […] e limitado, dada uma seqüência em , segue, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass (provado no outro post), que existe uma subseqüência convergente em . Como é fechado, segue que essa subseqüência […]

Deixe uma resposta

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s

%d blogueiros gostam disto: