Normas Equivalentes

Novamente, um post sobre um teorema já exposto. No entanto, vou expor aqui uma forma interessante de se provar a equivalência das normas em um espaço vetorial de dimensão fiinita.

Duas normas num espaço vetorial E são chamadas de equivalentes quando as métricas provenientes dessas normas são equivalentes.

Teorema 1: Sejam E,F espaços vetoriais normados. As seguintes afirmações a respeito de uma aplicação linear T:E\to  F são equivalentes:

1) T é uniformemente contínua;

2) T é contínua;

3) T é contínua no ponto 0\in E ;

4) T é Lipschitz.


Demonstração: Com efeito, tem-se que as implicações (1)\Longrightarrow (2) , (2)\Longrightarrow (3) e (4)\Longrightarrow (1) são óbvias.  Provemos a implicação (3)\Longrightarrow (4) .

Com efeito, tem-se, pela hipótese, que existe  \delta >0 tal que

\left| v \right| \leq \delta \Longrightarrow \left\| T(v)  \right\| <1 .

Dado u\in\left\{ x\in E : \left| x\right| = 1 \right\} , tem-se que \left| \delta u \right| = \delta e, então,

\delta \left\| T(u)\right\| = \left\| T( \delta u) \right\|  < 1 , donde segue que

\left\| T(u)\right\| <\frac{ 1 }{ \delta } . Isso provou que \left\{ \left\| Tx\right\| \in F:\left| x\right| =1\right\} é limitado. Denotamos L=sup\left\{ \left\| Tx\right\| \in  F:\left| x\right| =1\right\} .

Dados x,y\in E , segue que \displaystyle \left\| T  \left( \frac{x-y}{ \left| x-y\right| } \right) \right\|\leq L e, portanto,

\displaystyle \frac{1}{ \left| x-y\right| } \left\| T\left(  x-y\right) \right\| \leq L , ou seja, \left\| Tx - Ty\right\|  \leq L\left| x-y\right| .


Corolário 1.1: Sejam \left\| \cdot \right\| _1 e \left\| \cdot \right\| _2 duas normas num espaço vetorial E . Se tais normas são equivalentes, segue que as métricas provenientes dessas normas são uniformemente equivalentes. E, mais precisamente, existem \alpha, \beta > 0 tais que

\alpha \left\| u \right\| _1 \leq \left\| u \right\| _2  \leq \beta \left\| u \right\| _1 para todo u\in E .


Demonstração: Com efeito, se tais normas são equivalentes, segue que

id: (E, \left\| \cdot \right\| _1 ) \to (E, \left\| \cdot  \right\| _2 ) é um homeomorfismo. Pelo teorema precedente, id e sua inversa são lipschitzianas (em particular, id é um homeomorfismo uniforme). Isso implica que existem \alpha , \beta  > 0 tais que

\alpha \left\| x-y \right\| _1 \leq \left\| x-y \right\| _2  \leq  \beta \left\| x-y \right\| _1 para quaisquer x,y\in E .

Em particular,

\alpha \left\| x \right\| _1 \leq \left\| x \right\| _2 \leq    \beta \left\| x \right\| _1 para qualquer x\in E (bastava tomar y=0 ).



Corolário 1.3: Seja E um espaço vetorial normado. Ao trocar a norma de E por uma equivalente, seqüências convergentes são transformadas em seqüências convergentes, e seqüências de Cauchy são transformadas em seqüências de Cauchy. Em particular, se E é completo em relação a uma norma, ele será completo em relação a qualquer norma equivalente.


Demonstração: É consequência imediata do fato de métricas provenientes de normas equivalentes serem uniformemente equivalentes.



Teorema 2: Sejam E um espaço vetorial normado e \mathbb{R}^n munido da norma do máximo (ou uma equivalente). Toda aplicação linear T: \mathbb{R} ^n \to E é contínua.


Demonstração: Com efeito, tem-se que, dado u\in\mathbb{R}^n ,

\displaystyle \left\| T(u)\right\|\leq \sum_{i=1}^n   \left|u_i\right| \left\| T(e_i)\right\|\leq \left| u \right|   \sum_{i=1}^n \left\| T(e_i)\right\| ,

onde \left\{ e_1, \ldots , e_n \right\} \subset \mathbb{R}^n é a base canônica, e onde \left| u \right| é a norma (do máximo) de u em \mathbb{R}^n . Fazendo \displaystyle L= \sum_{i=1}^n \left\| T(e_i) \right\| , segue que

\displaystyle \left\| T(u)\right\|\leq L\left| u \right| .

Isso provou que \displaystyle \left\| T(v)\right\|\leq L\left|   v \right| para todo v\in\mathbb{R}^n . Portanto, isso completa a prova de que T é contínua, afinal, dados x,y\in\mathbb{R}^n , tem-se, pelo provado que

\displaystyle \left\| Tx-Ty\right\| =\left\|   T(x-y)\right\|\leq L\left| x-y \right| .



Teorema 3: Quando \mathbb{R}^n está munido de alguma norma equivalente à norma do máximo, K\subset\mathbb{R}^n é compacto se, e somente se, é limitado e fechado em \mathbb{R} ^n .


Demonstração: Se K\subset \mathbb{R}^n é fechado e limitado, dada uma seqüência em K , segue, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass (provado no outro post), que existe uma subseqüência convergente em \mathbb{R}^n . Como K é fechado, segue que essa subseqüência converge em K . Isso completou a prova de que K é compacto.

Reciprocamente, se K é compacto, segue que K é totalmente limitado (em particular, limitado) e fechado.



Leminha: Se \mathbb{R}^m está munido de uma norma equivalente à norma do máximo, segue que

\left\{ x:\left| x\right| =1 \right\} = S^{m-1}\subset\mathbb{R}^m é compacto.


Demonstração: Com efeito, basta provar que S^{m-1} é fechado (afinal, S^{m-1} é obviamente limitado). Note que, dado uma seqüência convergente x_n\to L tem-se que \left| x_n\right| \to \left| L\right| . Logo se (u_n) é uma seqüência convergente de vetores em S^{m-1} , como \left| u_n\right|\to 1 , segue que a norma do limite é 1 . E, portanto, o limite está em S^{m-1} .


Teorema 4: Seja E um espaço vetorial normado de dimensão finita m . Segue que existe um homeomorfismo linear H: \mathbb{R}^m\to E .


Demonstração: Com efeito, dada uma base \left\{u_1, \ldots ,u_m\right\} , define-se H: \mathbb{R} ^m \to E , \displaystyle H(x) = \sum_{i=1}^n x_i u_i .

H é linear. Portanto, pelo teorema 2, é contínua. Além disso, H é obviamente bijetiva. Como S^{m-1}\subset\mathbb{R}^m é compacto, segue que

f: S^{m-1}\to\mathbb{R} , f(u)=\left\| H(u)\right\| ,

assume máximo e mínimo (por ser contínua). Como H é bijetiva (em particular, injetiva), segue que H(x)\neq 0 para todo x\in S^{m-1} . Portanto, o mínimo de f é um número r> 0 .

Tem-se, então, que, dado y\in\mathbb{R}^m ,

\displaystyle \left\| H\left( \frac{y}{ \left| y\right| }\right) \right\| = \frac{1}{\left| y \right| } \left\| H(y)\right\| \geq r . Disso segue que

\left\| H(y)\right\| \geq r \left| y \right| .

Isso provou a continuidade da inversa.



Corolário 4.1: Sejam E e F espaços vetoriais normados de dimensão finita. Toda aplicação linear T: E\to F é contínua.


Demonstração: Com efeito, pelo teorema 4, existe um homeomorfismo linear H:\mathbb{R}^m\to E (onde m é a dimensão de E ).

Tem-se que (T\circ H) : \mathbb{R}^m\to F é uma aplicação linear. Logo, pelo teorema 2, é contínua. Como H é um homemorfismo, segue que

T= (T\circ H)\circ H^{-1} é composição de aplicações contínuas e, portanto, contínua.



Corolário 4.2: Todas normas em espaço vetorial de dimensão finita são equivalentes.


Demonstração: Com efeito, seja E um espaço vetorial de dimensão finita. Dadas duas normas \left\| \cdot \right\| _1 , \left\| \cdot \right\| _2 em E , segue que

id: (E, \left\| \cdot \right\| _1 ) \to (E, \left\| \cdot \right\| _2 )

e sua inversa são aplicações lineares. Portanto, pelo corolário acima, elas são contínuas e, então, as normas são equivalentes.



Observação: Da equivalência das normas em espaços vetoriais de dimensão finita, segue que, para qualquer espaço vetorial normado E de dimensão finita, valem:

1) K\subset E é compacto se, e somente se, K é limitado e fechado em E .

2) Vale o teorema de Bolzano-Weierstrass em E . Ou seja, toda seqüência limitada em E possui subseqüência convergente em E .

Teorema 5: Todo espaço vetorial normado de dimensão finita é completo.


Demonstração: Seja E um espaço vetorial normado de dimensão finita. Segue, pelo provado, que toda seqüência limitada possui subseqüência convergente. Logo, dada uma seqüência de Cauchy (u_n) em E , segue que ela é limitada. Portanto ela possui subseqüência convergente. Mas é fácil de verificar que, se uma seqüência de Cauchy possui uma subseqüência convergente, ela converge: portanto (u_n) converge.


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