Restrições/Topologia induzida

Alguns lemas sobre restrição de Domínio e de Contra-Domínio… Esse post tem a finalidade de deixar claro algumas coisas que eu falei com o Thiago.

Mas são coisas tranqüilinhas… Tentei colocar de certa forma detalhado…

Lema 1: Sejam X um espaço topológico e Y\subset X um subespaço. A aplicação i:Y\to X , i(x)=x é contínua.

Demonstração: Com efeito, dado A\subset Y aberto, segue que i^{-1}(A)= A\cap Y . Ou seja, i^{-1}(A) é um aberto (com a topologia de subespaço (induzida)).

CQD

Lema 2: Sejam X,Z   espaços topológicos e Y\subset X um subespaço. Se f: X\to Z é contínua, então f|_Y : Y\to Z é contínua.

Demonstração: Com efeito, basta ver que f |_Y = f\circ i , onde i:Y\to X é a inclusão.

CQD


Lema 3: Sejam X,Z   espaços topológicos. Se f:X\to Z é contínua, então \left( f^*\right) : X\to Im f , $latex\left(  f^*\right)(x)=f(x) $, é contínua (quando Im f \subset Z está munido da topologia induzida (de subespaço)).

Demonstração: Com efeito, dado um aberto A\subset Im f em Im f , segue que existe um aberto B\subset Z tal que A=B\cap Im f . Pela continuidade de f , segue que f^{-1} (B) é aberto em X .

Note que, então, que \left( f^*\right) ^{-1} (A)=f^{-1}(B\cap Im f) = f^{-1}(B)\cap f^{-1}(Im f) = f^{-1}(B)\cap X = f^{-1}(B) é aberto em X .

CQD


Conseqüência: Sejam X,Z   espaços topológicos. e A\subset X um subespaço Se f:X\to Z é um homeomorfismo, então f|_A: A\to Z é um homeomorfismo sobre f(A) (ou seja, g : A\to f(A) , g(x)= f(x) é um homeomorfismo ).

Demonstração: Com efeito, f|_A é contínua (pelo lema 2). Além disso, segue disso, pelo lema 3, que g : A\to f(A) , g(x)=f(x) , é contínua.

A inversa de g é a inversa de f restrita a f(A) e com o contra-domínio restrito à imagem A . Portanto, pelos lemas 2 e 3, ela é contínua.

Logo f é um homeomorfismo.

CQD

De fato, a conseqüência diz que homeomorfismos são, também, homeomorfismo das partes do domínio sobre suas imagens. É um fato um tanto trivial isso, mas muito importante. Por exemplo, acredito que tenha usado isso em Análise 1 (ou, pelo menos, usará em algum curso de análise 1 que fará por algum verão) no seguinte problema:

Provar que, dados a < b reais, \left[ a,b\right) não é homeomorfo a \left( a,b\right) .

Olha: é fácil provar que \left[ a,b\right] não é homemorfo a nenhum desses dois intervalinhos. Pois os dois intervalinhos não são compactos e \left[ a,b\right] é.

Mas os dois intervalinhos são conexos, não-compactos, etc… Enfim, a princípio, não temos uma propriedade topológica que distingue um do outro.

Um jeito que costumam provar que esses intervalinhos não são homeomorfos é vendo que, se existisse um homeomorfismo f: \left[ a,b\right)\to \left( a,b\right) , então existiria um homeomorfismo (com as restrições) g: \left( a,b\right)\to \left( a,b\right) - f(a) , g(x)=f(x) . No entanto, \left( a,b\right) é conexo e \left( a,b\right) - f(a) não o é. Absurdo. Logo os dois intervalos não são homeomorfos.

Esse raciocínio normalmente é reduzido por: “se tirássemos um ponto de \left( a,b\right) , ele necessariamente se tornaria desconexo. Enquanto podemos tirar a de \left[ a,b\right) e ele continuaria conexo. Logo eles não são homeomorfos.

Usando o mesmo tipo de raciocínio, provamos coisas mais divertidas… Por exemplo, que todo homeomorfismo do quadrado num círculo (bola fechada) leva os “lados” na circunferência. Mas essas coisas precisam de conceitos mais sofisticados…”


2 respostas para Restrições/Topologia induzida

  1. André Caldas disse:

    Bacana!🙂

    Acho que a principal coisa que você demonstrou foi:

    O conceito de “topologia induzida” é bom!😉

    André Caldas.

    • Lucatelli disse:

      Isso mesmo! =) =D =D😀😀😀

      É bom por satisfazer coisas triviais que a gente gostaria que fossem satisfeitas…😛😀

      Fernando

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