Gráfico Compacto

Em geral, quando o gráfico de uma função é compacto, não podemos dizer se a função é contínua. No entanto, quando o domínio é Hausdorff, o quadro muda. Nesse caso, a compacidade do gráfico da função já implica a continuidade da função. Isso é útil, por exemplo, para montar homotopias (quando estamos com espaços Hausdorff e sabemos que o gráfico é compacto, não precisaremos “gastar tempo” mostrando que a função é contínua).

Esse resultado é conseqüencia de um conhecido resultado sobre funções com domínio compacto e contra-domínio Hausdorff: “Sejam X Hausdorff e Z compacto. Se f: Z\to X é uma bijeção contínua, então f é um homeomorfismo.” (Para demonstrar esse resultado basta verificar que a aplicação é fechada. Afinal, dado um fechado F no domínio, tem-se que F é fechado de um compacto e, portanto, compacto. Logo a imagem é compacta. Mas, X é Hausdorff. Logo a imagem de F é fechada em X .)

Esse post é sobre um teorema interessante em topologia geral. Primeiramente, um lema trivial será provado.

Lema 1: Sejam X,Y espaços topológicos. Se f:X\to Y é contínua, X é homeomorfo ao gráfico de f .

Demonstração: Seja G(f) = \left\{ (x,f(x)) : x\in X\right\} o gráfico da função f . Basta ver que H: X\to G(f) , H(x)=(x,f(x)) é um homeomorfismo.

CQD

Teorema 2: Sejam Y um espaço topológico, X um espaço Hausdorff e f:X\to Y uma aplicação. G(f)=\left\{ (x,f(x)): x\in X \right\} é compacto se, e somente se, f é contínua e X é compacto.

Demonstração: Com efeito, se f é contínua e X é compacto, segue, pelo lema 1, que o gráfico G(f) é homeomorfo a X e, portanto, compacto.

Reciprocamente, seja G(f) compacto. Tem-se que a projeção \pi _X : G(f)\to X é uma bijeção contínua. Como X é Hausdorff  e G(f) é compacto, segue que é um homeomorfismo. Logo X é compacto. Além disso, como a projeção \pi _Y: G(f)\to Y é contínua , segue que f= ( \pi _Y\circ \pi _X ^{-1} ) é composição de aplicações contínuas e, portanto, contínua.

CQD

O post apresenta um lema que torna direta a demonstração deste post.

Uma resposta para Gráfico Compacto

  1. […] teorema do post anterior é conseqüência desse lema e de algumas observações. No teorema, a hipótese é de que seja […]

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