Lei dos Paralelogramos e Lei dos Cossenos.

A Lei dos Cossenos pode ser reformulada sem o uso de ângulo ou produto interno, assumindo o formato conhecido como Lei dos Paralelogramos.

Seja E um espaço vetorial munido de um produto interno (\cdot,\cdot ), a Lei dos Cossenos pode ser enunciada assim:

{\| b\| }^{2}+{\| a\| }^{2} -2 \| a \| . \| b \| cos(\theta ) = \| a-b \| ^2(Lei dos Cossenos)

Onde cos(\theta )=\frac{(a,b)}{\| a \| . \| b \|},a,b\in E

Mas,

(a,b)=\frac{{\| a+b\| }^2- \| a\| ^2-\| b\| ^2 }{2}

Assim, a Lei dos Cossenos fica,

{\| a \| } ^2+ {\| b\| }^2 -{\| a+b \| }^2+{\|a\| }^2 +{\|b\| }^2={\| a-b\| }^2

Isto é,

2{\| a\| }^2+2{\| b\| }^2 ={\| a+b\| }^2+{\| a-b\| }^2(Lei dos Paralelogramos)

A argumentação acima mostra que em um espaço vetorial E munido de um produto interno (\cdot ,\cdot ) a Lei dos Paralelogramos é exatamente a Lei dos Cossenos. A primeira vista somos levados a imaginar que a Lei dos paralelogramos pode ser válida em um espaço Vetorial normado E, com norma \| \cdot \|, no qual não vale a Lei dos Cossenos. Surpreendentemete, veremos que ainda assim a Lei dos parelelogramos é exatamentea a Lei dos Cossenos.

Theorema: Seja E um espaço vetorial normado com norma \| \cdot \|, no qual vale,

2{\| a\| }^2+2{\| b\| }^2 ={\| a+b\| }^2+{\| a-b\| }^2(Lei dos Paralelogramos)

Para todo a,b\in E.

Então \| a\|=\sqrt (a,a) para algum produto interno (\cdot ,\cdot )  em E.

Demonstração: Se  \| a\|=\sqrt (a,a) algum produto interno (\cdot ,\cdot )  em E, então,

(a,b)=\frac{{\| a+b\| }^2- \| a\| ^2-\| b\| ^2 }{2}

Basta então mostrar (\cdot ,\cdot ) dado pele equação acima  é um produto interno em E.

Ou seja,

(i)(\cdot ,\cdot ) é simétrica.

Isso é claro  da sua definição.

(ii)(a ,a )\geq 0, a\in E e (a,a)=0 se e somente se a=0

Isso é claro, pois pela definição (a ,a )=\| a\| ^2

(iii)(\cdot ,\cdot ) é bilinear.

De fato, sejam a, a',b \in E, e vejamos que, (a,b)+(a',b)=(a+a',b)

(a,b)+(a',b)=\frac{{\| a+b\| }^2- \| a\| ^2-\| b\| ^2 }{2}+\frac{{\| a'+b\| }^2- \| a'\| ^2-\| b\| ^2 }{2}=

\frac{{\| a+b\| }^2+{\| a'+b\| }^2- \| a\| ^2-\| b\| ^2- {\| a'\| }^2-\| b\| ^2 }{2}=

\frac{{\frac{{\| a+b+a'+b\| }^2+ \| a-a'\| ^2}{2}}- \| a\| ^2-\| b\| ^2- {\| a'\| }^2-\| b\| ^2 }{2}

Mas pela Lei dos Paralelogramos, segue que,

{\| (a+a'+b)+b\| }^2=2{\| a+a'+b\| }^2+2{\| b\|}^2-{\| a+a'\| }^2

Substituindo na última expressão obtemos:

\frac{{\frac{2{\| a+a'+b\| }^2+2{\| b\|}^2-{\| a+a'\| }^2+ \| a-a'\| ^2}{2}}- \| a\| ^2-\| b\| ^2- {\| a'\| }^2-\| b\| ^2 }{2}=

\frac{{{\| a+a'+b\| }^2+{\| b\|}^2+\frac{-{\| a+a'\| }^2+ \| a-a'\| ^2}{2}}- \| a\| ^2-\| b\| ^2- {\| a'\| }^2-\| b\| ^2 }{2}=

Mas pela Lei dos Paralelogramos, segue que,

{\| a-a'\| }^2=-{\|a+a'\| }^2+{\| a\| }^2+2{\| a'\| }^2

Substituindo na última expressão obtemos:

\frac{{{\| a+a'+b\| }^2+{\| b\|}^2+\frac{-{\| a+a'\| }^2-{\|a+a'\| }^2+2{\| a\| }^2+2{\| a'\| }^2}{2}}- \| a\| ^2-\| b\| ^2- {\| a'\| }^2-\| b\| ^2 }{2}=

\frac{{{\| a+a'+b\| }^2+{\| b\|}^2{-{\|a+a'\| }^2+{\| a\| }^2+{\| a'\| }^2}{}}- \| a\| ^2-\| b\| ^2- {\| a'\| }^2-\| b\| ^2 }{2}=

\frac{{\| a+a'+b\| }^2-{\| a+a'\| }^2-\| b\| ^2 }{2}=(a+a',b)

Agora, para b\in E fixado, vejamos que g_b (a)=(a,b),a\in E é uma função linear, segue da argumentação anterior que g_b (a+a')=g_b (a)+g_b (a')a,a'\in E, donde g_b (ra)=rg_b (a), a\in E, r \in \mathbb Q. Dado agora r\in \mathbb R, seja \{r_n \} uma sucessão em \mathbb Q que converge para r, segue da continuidade de g_b que,

g_b (ra)=g_b(lim_{n\rightarrow \infty }r_n a)=lim_{n\rightarrow \infty}g_b (r_n a)=lim_{n\rightarrow \infty}r_n g_b (a)=

rg_b (a)

Logo, g_b (a),a\in E é uma função linear.

Na verdade o fato da Lei dos Paralelogramos ser sempre exatamente a Lei dos Cossenos, não é tão surpreendente assim, visto que sendo a Lei dos Paralelogramos uma “Lei dos Cossenos generalizada”, nela estaria subjacente a idéia de ângulo e onde tem uma noção de angulo é razoável esperar que exista uma estrutura de produto interno.

(qed)

4 respostas para Lei dos Paralelogramos e Lei dos Cossenos.

  1. rrsilva73 disse:

    Você precisa completar \| \dots \|

  2. Lucatelli disse:

    Usando a definição de que cosseno do ângulo entre dois vetores u e v é dado por
    \frac{\left\langle u,v\right\rangle }{\left\| u\right\|\left\| v\right\| } . Né?

    Daí temos uma forminha simples (interessante (e fácil de memorizar)) da lei do paralelogramo (de fato, a lei dos cossenos).

    Massa! =)

  3. Mauro disse:

    Raderson, muito massa! Mas não tá faltando mostrar que o escalar entra e sai multiplicando…?

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