Lema Sobre Gráfico da Função

Sejam X e Y espaços topológicos. Se f:X\to Y é uma função, o gráfico da função f é o conjunto G(f) = \left\{ (x,f(x)) : x\in X\right\} . A função f: X\to Y é contínua se, e somente se, a projeção \pi _X : G(f)\to X é um homemorfismo.

Demontração: Com efeito, tem-se que \pi _ X : G(f)\to X em todos os casos é uma aplicação bijetiva contínua. Se f: X\to Y é contínua, segue, evidentemente, que (\pi _ X)^{-1} : X\to G(f) é contínua “em cada coordenada” e, portanto, é contínua. Disso segue que \pi _ X é um homeomorfismo.

Reciprocamente, se \pi _ X é um homeomorfismo, segue que f= \pi_ Y\circ (\pi _X )^{-1} , onde

\pi _Y : G(f)\to Y é a projeção (e, portanto, evidentemente contínua). Disso segue que f é composição de aplicações contínuas e, portanto, é contínua. Isso completa a prova da recíproca do teorema.

CQD

O teorema do post anterior é conseqüência desse lema e de algumas observações. No teorema, a hipótese é de que G(f) seja compacto e o domínio X seja Hausdorff. Como \pi _ X : G(f)\to X é uma aplicação contínua e bijetiva. Segue que, por G(f) ser compacto e X ser Hausdorff, \pi _ X é um homeomorfismo. Portanto, pelo resultado deste post, segue que f: X\to Y é contínua.

Uma resposta para Lema Sobre Gráfico da Função

  1. […] post apresenta um lema que torna direta a demonstração deste […]

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