Base "canônica" para formas simpléticas.

Inspirados nas propriedades dos determinantes de matrizes 2 \times 2, definimos o que seria uma forma simplética.

Definição 1: Dado um espaço vetorial de dimensão finita V, uma forma simplética sobre V é uma aplicação \Omega: V \times V \rightarrow \mathbb{R} que é bilinear, anti-simétrica e não degenerada. Dizemos que (V, \Omega) é um espaço vetorial simplético.

Dizer que \Omega é anti-simétrica, significa dizer que \Omega(x,y) = -\Omega(y,x). E isso implica em particular que \Omega(x,x) = 0. Dizer que \Omega é não degenerada, é o mesmo que dizer que para cada x \in V não nulo fixado, o funcional linear \Omega(x, \cdot): y \mapsto \Omega(x, y) não é identicamente nulo. Em outras palavras, para todo x \in V não nulo, existe y \in V tal que \Omega(x, y) \neq 0.

As formas simpléticas possuem algumas semelhanças com o produto interno (nos reais). Por exemplo, se fixarmos uma das coordenadas obtemos um funcional linear. O produto interno também é não degenerado. Com o produto interno, podemos construir uma base ortonormal. A grande vantagem da base ortonormal, é que o produto interno assume sempre a mesma forma (\sum x_i y_i) quando os vetores estão escritos nesta base. Neste post, mostraremos que as formas simpléticas possuem propriedade semelhante.

Primeiro, para fazer as coisas a la André, vamos para algumas definições, propriedades e caracterizações.🙂

Uma diferença entre as formas simpléticas e o produto interno, é que no caso do produto interno, dado um subespaço W \subset V, a restrição do produto interno a W \times W continuava sendo um produto interno, desta vez sobre W. No caso de uma forma simplética \Omega, nem sempre temos que \Omega |_{W \times W} é uma forma simplética de W. Quando o for, dizemos que W é simplético.

Definição 2: Seja (V, \Omega) é simplético e W \subset V. Se (W, \Omega|_{W \times W}) é uma forma simplética (ou seja, é não degenerada), dizemos que W é um subespaço simplético.

Definição 3: Dado um espaço vetorial simplético (V, \Omega), defina \tilde{\Omega}: V \rightarrow V^* a aplicação \tilde{\Omega}(x) \mapsto \Omega(x, \cdot).

Note que dizer que \Omega é não degenerado, é o mesmo que dizer que \ker(\tilde{\Omega}) = \{0\}.

Lema 1: A aplicação \tilde{\Omega} é bijetiva.

Demonstração: De fato, pela observação acima, a aplicação é injetiva. Como \dim(V) = \dim(V^*), a aplicação é também sobrejetiva.


Definição 4: Dado um subespaço W \subset V, definimos W^\Omega = \{v \in V | \text{para todo } w \in W,\, \Omega(v,w) = 0\}. Este é o subespaço ortogonal a W.

Note, que diferentemente do caso do produto interno, não é sempre verdade que V = W \oplus W^\Omega, pois é possível que W \cap W^\Omega \neq \{0\}. Nosso primeiro resultado interessante será justamente o fato de que V = W \oplus W^\Omega sempre que, e apenas quando, W for simplético. (proposição 1)

Lema 2: Vale que \dim(V) = \dim(W) + \dim(W^\Omega).

Demonstração: Considere a aplicação \tilde{\Omega}_W: V \rightarrow W^* dada por \tilde{\Omega}_W(v) = \tilde{\Omega}(v)|_{W}. Ou seja, é a composição de \tilde{\Omega} com a restrição em W. Note que \ker(\tilde{\Omega}_W) = W^\Omega. Se mostrarmos que \tilde{\Omega}_W é sobrejetiva, teremos que \dim(V) = \dim(W^*) + \dim(W^\Omega). Como \dim(W^*) = \dim(W), isso concluiria a demonstração.

Sabemos pelo lema 1 que \tilde{\Omega} é sobrejetiva. Assim, dizer que \tilde{\Omega}_W é sobrejetiva é o mesmo que dizer que todo funcional linear em W é a restrição de algum funcional linear em V. Em outras palavras, é o mesmo que dizer que todo funcional em W pode ser estendido a V. Este fato é verdadeiro. De fato, basta estender uma base de W a uma base de V e definir arbitrariamente o funcional nos “novos vetores da base”. (ficou um bocado informal… formalize isso por conta própria :-P)


Observação: Uma das consequências do lema 2, é que (W^\Omega)^\Omega = W. (verifique)

Proposição 1: O subespaço W \subset V é simplético \Leftrightarrow W \cap W^\Omega = \{0\} \Leftrightarrow V = W \oplus W^\Omega \Leftrightarrow V = W + W^\Omega.

Demonstração: A equivalência entre as três últimas condições é consequência direta do lema 2. Observe que dizer que W é simplético é o mesmo que dizer que W \cap W^\Omega = \{0\}. E isso concluí a demonstração!🙂


E finalmente…

Teorema: Seja (V, \Omega) um espaço vetorial simplético. Então existe uma base de V dada por vetores e_1, \dotsc, e_n, f_1, \dotsc, f_n tais que para todo i, j = 1, \dotsc, n, temos que \Omega(e_i, e_j) = \Omega(f_i, f_j) = 0 e \Omega(e_i, f_j) = \delta_{ij}. Em particular, todo espaço vetorial simplético tem dimensão par.

Demonstração:

Afirmação 1: Se W \subset V é simplético, então W^\Omega também é simplético.

A afirmação é consequência imediata da proposição 1.

Afirmação 2: Dado um espaço vetorial simplético (V', \Omega') qualquer, sempre existem e, f \in V' linearmente independentes, tais que \Omega(e,f) = 1. Neste caso, o subespaço \left<e, f\right> é simplético.

Tome e \in V' não nulo. Pela não degenerescência de \Omega' existe g \in V' tal que \Omega'(e, g) = \alpha \neq 0. Basta então tomar f = \frac{g}{\alpha}. Note que e, f são linearmente independentes, pois caso contrário teríamos \Omega'(e,f) = 0. É fácil ver que o subespaço gerado será simplético.

Afirmação 3: Se W \subset V é simplético e U \subset W^\Omega também é simplético, então W + U é simplético. Neste caso, W + U = W \oplus U, pois W \cap U \subset W \cap W^\Omega = \{0\}.

Tome w + u \in W + U. Então existem w' \in W e u' \in U tais que \Omega(w,w') = \Omega(u,u') = 1. Assim, \Omega(w+u, w'+u') = \Omega(w,w') + \Omega(u,w') + \Omega(w,u') + \Omega(u,u') = \Omega(w,w') + \Omega(u,u') = 2 \neq 0.

Considere a família \mathcal{F} de todos os subespaços V' \subset V simpléticos tais que o teorema vale para V'. Note que essa família é não vazia pela afirmação 2. Tome W \in \mathcal{F} maximal. Basta então mostrar que W = V.

Não fosse o caso, pelo lema 2, teríamos W^\Omega \neq \{0\}. Pela afirmação 1, W^\Omega é simplético. Agora, pela afirmação 2, podemos encontrar e, f \in W^\Omega tais que \Omega(e, f) = 1 e \left<e, f\right> \subset W^\Omega é simplético. No entanto, pela afirmação 3, W' = W \oplus \left<e, f\right> é simplético, contradizendo a maximalidade de W. (verifique que W' satisfaz as condições do teorema)

4 respostas para Base "canônica" para formas simpléticas.

  1. mauropatrao disse:

    Muito bom!!! Eu só trocaria a K, k, k' por U, u, u' .

  2. André Caldas disse:

    Oops! Corrigindo…🙂

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