Compactos Convexos

Sejam E um espaço vetorial normado e K\subset E um subconjunto compacto convexo. Se X é um espaço topológico qualquer, usando um pouquinho da introdução de teoria de homotopia, provaremos que uma função contínua f: \partial K \to X tem uma extensão contínua em K se, e somente se, f é homotópico a uma aplicação constante.

Há como fazer uma prova direta (igualmente trabalhosa) desse fato. Mas o intuito, aqui, é apresentar alguns resultados interessantes que implicarão nesse teorema sobre extensão de aplicações contínuas. Um dos resultados que tenho em mente é provar que, num espaço vetorial normado, todos subconjuntos compactos convexos de interior não vazio são homeomorfos entre si. Em particular, em um espaço vetorial normado de dimensão finita, isso quer dizer que todos compactos convexos de interior não vazio são homeomorfos à bola fechada. A bola fechada já possui um resultado de extensão que pode ser usado como lema para a demonstração final, após demonstrar que todo homeomorfismo entre a bola fechada e um compacto leva a esfera na fronteira (e vice-versa).

Antes de prosseguir, cabem algumas observações. Se um subconjunto K compacto convexo de um espaço vetorial normado possui interior vazio, então K = \partial K . E, portanto, trivialmente toda aplicação contínua definida na sua fronteira tem extensão contínua em K (a própria aplicação) e, também, por K = \partial K ser convexo (em particular, contrátil) , toda aplicação contínua definida na fronteira é homotópica a uma constante . Logo, sobre extensão, basta provar para o caso em que o interior do compacto convexo é não vazio.

Além disso, num espaço vetorial normado de dimensão infinita, a afirmação “todos subconjuntos compactos convexos com interior não vazio são homeomorfos entre si” é verdade por vacuidade. Afinal, não há subconjuntos compactos com interior não vazio. Então tanto essa afirmação, quanto o resultado sobre extensão, são triviais para o caso em que o espaço vetorial normado possui dimensão infinita.

Portanto só resta provar que, num espaço vetorial normado de dimensão finita, a afirmação sobre a equivalência dos subconjuntos compactos convexos com interior não vazio também é verdadeira. E, então, tirar daí o resultado de extensão para esse tipo de subconjunto.

Além disso, um dos sentidos do teorema sobre extensão é trivial. Existem duas formas de verificar isso. Evitando a linguagem de categorias (com essa linguagem consegue-se mostrar (de forma direta) uma forma que generaliza (e trivializa) essa condição necessária para haver uma extensão), eu consegui uma demonstração rápida desse fato (que vou enunciar, abaixo, como lema).

Lema 1.: Sejam E um espaço vetorial normado, K\subset E um convexo, A\subset K um subconjunto não vazio e X um espaço topológico. Se f: A\to X é contínua, então uma condição necessária para que f tenha extensão contínua em K é que f seja homotópica a uma aplicação constante.

Demonstração: Se f^*: K\to X é uma extensão contínua, então, tomando a inclusão i: A\to K , segue que f^*\circ i = f . Mas, como K é convexo (e, em particular, contrátil), tem-se que i é homotópico a uma aplicação constante t: A\to K . Disso segue que f é homotópico a f^*\circ t (que é constante).

CQD

Será provado abaixo o resultado sobre extensão (básico) que nos será útil para completar a demonstração do teorema final (sobre extensões de aplicações contínuas em compactos convexos). Esse resultado é sobre extensões de aplicações contínuas definidas numa esfera S^n para a bola B^{n+1} toda. A demonstração direta do resultado final é análoga à demonstração do teorema seguinte: mas vamos chegar a esse resultado de outra forma.

Lema 2.: Seja X um espaço topológico. Uma aplicação contínua f: S^n\to X possui uma extensão F : B^{n+1}\to X contínua se, e somente se, f é homotópico a uma aplicação constante.

Demonstração: Com efeito, se f: S^n\to X possui extensão, segue, pelo lema 1, que f é homotópico a uma aplicação constante. Reciprocamente, se f é homotópico a uma constante, segue que existe uma homotopia L: f\cong k , onde k: S^n\to X é uma aplicação constante. Define-se a aplicação sobrejetiva

\varphi : S^n\times\left[ 0,1\right]\to B^{n+1} , onde \varphi (x,t) = (1-t)x . Essa aplicação tem domínio compacto e contra-domínio Hausdorff, logo é fechada (e, portanto, é aplicação quociente). Observe que, dados \varphi (x_1,t_1) =\varphi (x_2, t_2) , ou (x_1,t_1) = (x_2,t_2) , ou então t_1 = t_2 = 1 . E, portanto, em ambos os casos L(\varphi (x_1,t_1) ) = L( \varphi (x_2 ,t_2) ) . Portanto, dado y\in B^{n+1} , y possui uma imagem inversa \varphi ^{-1} (y) e, tomando (x,t)\in \varphi ^{-1} (y) qualquer, podemos definir F: B^{n+1}\to X como sendo F(y) = L(x,t) (pelo observado, segue que isso está bem definido). Note que F\circ \varphi = L .

Como \varphi é aplicação quociente, o fato de F\circ \varphi = L ser contínua implica que F é contínua. E, para completar, é fácil verficar que F|_{S^n} = f .

CQD

Segue o resultado que afirma que todos os compactos convexos com interior não vazio de um espaço vetorial normado E são homeomorfos entre si. Como foi observado anteriormente, para provar isso, basta provar para o caso em que E tem dimensão finita, afinal,  para o caso em que E tem dimensão infinita, a afirmação é truísmo.

Teorema 3.: Seja E um espaço vetorial normado. Tem-se que todos os compactos convexos com interior não vazio em E são homeomorfos entre si.

Demonstração: Com efeito, seja E um espaço vetorial normado de dimensão n+1 . Tem-se que a bola fechada B^{n+1} de raio 1 e centrada na origem é um compacto convexo com interior não vazio. Então basta provar que todos compactos convexos de interior não vazio são homeomorfos a essa bola.

Dado um compacto convexo com interior não vazio K\subset E , supõe-se sem perda de generalidade que K\subset B^{n+1} e que um ponto interior x_0\in int K coincide com a origem. Note que essa suposição é razoável: basta ver que K é limitado, fixando x_0 no interior de K , tem-se que o conjunto \frac{1}{2diam (K)}K -x_0 é homeomorfo a K e satisfaz as propriedades que foram pedidas: ponto interior x_0 coincidindo com a origem e K\subset B^{n+1} .

Define-se \phi : \partial K\times \left[ 0,1\right]\to K , onde \phi (x,t) = (1-t)x . Evidente que \phi é contínua e sobrejetiva. Por \partial K\times \left[ 0,1\right] ser compacto, \phi é fechada. Logo \phi é aplicação quociente.

Por outro lado, define-se \alpha : S^n\times \left[ 0,1\right]\to B^{n+1} , onde \alpha (x,t) = (1-t)x . De forma análoga, conslui-se que \alpha é aplicação quociente.

Verifique que, sem ambigüidade, pode-se definir F: K\to B^{n+1} tal que F(\phi (x,t)) = \alpha (x,t) . Como F\circ \phi = \alpha é contínua, por \phi ser aplicação quociente, segue que F é contínua.

E, de forma análoga, define-se, sem ambigüidade, G: B^{n+1}\to K tal que G(\alpha (x,t)) = \phi (x,t) . Como G\circ \alpha = \phi é contínua, por \alpha ser aplicação quociente, segue que G é contínua.

Nota-se, facilmente, que G= F^{-1} . Logo ficou provado que F é homeomorfismo.

CQD

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2 respostas para Compactos Convexos

  1. […] os espaços homeomorfos à bola fechada possuem propriedade do ponto fixo; como, por exemplo, os compactos convexos de interior não vazio de […]

  2. […] para a bola fechada toda. O teorema mais geral sobre esse tipo de extensão é provado nesse post. Aqui, será apresentado apenas o teorema básico para futuras […]

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