Lema Sobre Extensão

Aqui, será provado um teorema básico sobre extensão de funções contínuas definidas na esfera, para a bola fechada toda. O teorema mais geral sobre esse tipo de extensão é provado no post sobre Compactos Convexos. Aqui, será apresentado apenas o teorema básico para futuras referências.

Sejam X,Y espaços topológicos e A\subset X . Uma função contínua F: X\to Y é uma extensão contínua da aplicação contínua f: A\to Y , se F|_A = f .

O teorema que será provado diz que uma aplicação f: S^n\to X , onde X é um espaço topológico qualquer, possui uma extensão contínua F: B^{n+1}\to X se, e somente se, f é homotópico a uma aplicação constante. Um dos sentidos do teorema sobre extensão é trivial. Existem duas formas de verificar isso. Evitando a linguagem de categorias (com essa linguagem consegue-se mostrar (de forma direta) uma forma que generaliza (e trivializa) essa condição necessária para haver uma extensão), eu consegui uma demonstração rápida desse fato (que vou enunciar, abaixo, como lema).

Lema 1.: Sejam E um espaço vetorial normado, K\subset E um convexo, A\subset K um subconjunto não vazio e X um espaço topológico. Se f: A\to X é contínua, então uma condição necessária para que f tenha extensão contínua em K é que f seja homotópica a uma aplicação constante.

Demonstração: Se f^*: K\to X é uma extensão contínua, então, tomando a inclusão i: A\to K , segue que f^*\circ  i = f . Mas, como K é convexo (e, em particular, contrátil), tem-se que i é homotópico a uma aplicação constante t:  A\to K . Disso segue que f é homotópico a f^*\circ t (que é constante).

CQD

Abaixo segue o teorema central deste post. Este teorema é utilizado na maioria dos posts sobre topologia. Em particular, o teorema do ponto fixo de Brouwer.

Teorema 2.: Seja X um espaço topológico. Uma aplicação contínua f: S^n\to X possui uma extensão F :  B^{n+1}\to X contínua se, e somente se, f é homotópico a uma aplicação constante.

Demonstração: Com efeito, se f: S^n\to X possui extensão, segue, pelo lema 1, que f é homotópico a uma aplicação constante. Reciprocamente, se f é homotópico a uma constante, segue que existe uma homotopia L: f\cong k , onde k: S^n\to X é uma aplicação constante. Define-se a aplicação sobrejetiva

\varphi : S^n\times\left[ 0,1\right]\to B^{n+1} , onde \varphi (x,t) = (1-t)x . Essa aplicação tem domínio compacto e contra-domínio Hausdorff, logo é fechada (e, portanto, é aplicação quociente). Observe que, dados \varphi (x_1,t_1) =\varphi (x_2,  t_2) , ou (x_1,t_1) = (x_2,t_2) , ou então t_1 = t_2 = 1  . E, portanto, em ambos os casos L(\varphi (x_1,t_1) ) = L(  \varphi (x_2 ,t_2) ) . Portanto, dado y\in B^{n+1} , y possui uma imagem inversa \varphi ^{-1} (y) e, tomando (x,t)\in \varphi ^{-1} (y) qualquer, podemos definir F:  B^{n+1}\to X como sendo F(y) = L(x,t) (pelo observado, segue que isso está bem definido). Note que F\circ \varphi = L .

Como \varphi é aplicação quociente, o fato de F\circ  \varphi = L ser contínua implica que F é contínua. E, para completar, é fácil verficar que F|_{S^n} = f .

CQD

6 respostas para Lema Sobre Extensão

  1. […] e . Portanto é fácil ver que não é homotópico a nenhuma aplicação constante. Portanto, pelo teorema de extensão contínua de funções definidas em esferas, não possui uma extensão contínua. […]

  2. […] Seja contínua homotópica a uma aplicação contínua. Segue, pelo lema sobre extensão, que possui extensão contínua […]

  3. […] fácil notar que não possui pontos fixos. Mas, possui extensão contínua . Logo, pelo lema sobre extensão, segue que é homotópica a uma aplicação constante e, então, pelo lema 1, segue que possui […]

  4. Lucatelli disse:

    Eu não coloquei, propositalmente, a forma geral do lema 1 (com receio de generalizar demais sem necessidade). O lema 1, com o mesmo argumento da demonstração(mudando o que for necessário), pode ser enunciado como:

    1) Sejam X contrátil e Y um espaço topológico qualquer. Se uma aplicação contínua
    f:A\subset X \to Y possui extensão contínua F:X\to Y , então f é homotópica a uma aplicação constante.

  5. […] Desse simples resultado, segue uma generalização do lema sobre extensão. […]

  6. […] o lema sobre extensão, segue um resultado interessante: todo retrato de um espaço contrátil é contrátil. Afinal, se […]

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