Aplicações homotópicas em S^n

Sejam S^n a esfera de dimensão n e X um espaço topológico qualquer. Algumas coisas são fáceis de deduzir sobre classes de homotopia de aplicações contínuas f,g :X\to S^n . Aqui, neste post, será apresentado um resultado de natureza elementar e algumas conseqüências imediatas. Esse primeiro resultado (e algumas de suas conseqüências) foi assumido na maioria dos posts que trabalharam com S^n (por exemplo, ponto fixo de Brouwer 2 e ponto fixo de Brouwer 1).

Teorema 1: Sejam f,g: X\to S^n aplicações contínuas. Se f(x)\neq -g(x) para todo x\in S^n , segue que f e g são aplicações homotópicas.

Demonstração: Com efeito, basta construir a homotopia

H: X\times I\to S^n , onde \displaystyle H(x,t) = \frac{tf(x) + (1-t)g(x)}{ \left| tf(x) + (1-t)g(x)\right| } .

Note que, de fato, H está bem definida, afinal o “denominador” nunca se anula. Além disso, é evidente que H é contínua e, portanto, que H é uma homotopia.

CQD

Seguem algumas conseqüências imediatas.

Conseqüência 1.0: Toda aplicação contínua não sobrejetiva f:X\to S^n é homotópica a uma aplicação constante.

Dem.: Com efeito, toma-se k\in S^n tal que f(x)\neq k para todo x\in X . Logo a aplicação constante igual -k é homotópica a f .

Conseqüência 1.1: Toda aplicação contínua f:S^n\to S^n tal que f(x)\neq -x para todo x\in S^n é homotópica à aplicação identidade.


Conseqüência 1.2: Toda aplicação contínua f: S^n\to S^n que não possua pontos fixos é homotópica à aplicação antípoda.


Do teorema 1 associado à afirmação 2 do post do ponto fixo de Brouwer seguem as seguintes conseqüências.

Conseqüência 1.3: Se n é ímpar, toda aplicação contínua f:S^n\to  S^n tal que f(x)\neq -x para todo x\in S^n é homotópica à aplicação antípoda.


Conseqüência 1.4: Se n é ímpar, toda aplicação contínua f: S^n\to S^n que não possua pontos fixos é homotópica à aplicação identidade.


De forma mais geral, para n ímpar, tem-se o seguinte teorema.

Teorema 2: Se n é ímpar e as aplicações contínuas f,g : X\to S^n não são homotópicas, então f e g possuem pontos antípodas e possuem pontos coincidentes.

Demonstração: O teorema 1 já diz que f,g: X\to S^n não homotópicas implica f,g possuem pontos antípodas.

Por outro lado, se f e g são tais que g(x)\neq f(x) para todo x\in X , seja \alpha : S^n\to S^n a aplicação antípoda, segue que \alpha\circ g\simeq Id\circ g = g , pois Id\simeq\alpha . Como g(x)\neq f(x) para todo x\in X , segue que \alpha\circ g(x)\neq -f(x) para todo x\in X . Disso segue, pelo teorema 1, que f\simeq\alpha\circ g\simeq g .

CQD

Uma resposta para Aplicações homotópicas em S^n

  1. […] não é homotópica a nenhuma aplicação constante. E, então, disso e do resultado apresentado no post, segue diretamente o seguinte o lema 1 do post sobre ponto fixo de Brouwer enunciado abaixo como […]

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