Ponto Fixo de Brouwer, 2ª demonstração

Houve um deslize estranho meu no post sobre Borsuk-Ulam. A demonstração de um dos lemas estava totalmente deslocada. Então o post e a demonstração estão sendo reformados. Enquanto isso, surgiu uma idéia para uma nova demonstração do teorema do ponto fixo de Brouwer. Ela não tem a construção bonita da demonstração do teorema 3 do post. Mas achei essa demonstração bonita por ser mais clara e, principalmente, direta.

De novo, vou assumir que S^n não é contrátil (e novamente vou adiar a demonstração disso para outro post).

Lema 1: Toda aplicação contínua f: S^n\to S^n homotópica a uma aplicação constante possui ponto fixo.

Demonstração: Caso, por absurdo, existisse uma aplicação contínua f: S^n\to S^n homotópica a uma constante e sem pontos fixos, então a aplicação antípoda \alpha :S^n\to S^n seria homotópica à f , ou seja, \alpha seria homotópica a uma constante. Logo \alpha\circ \alpha =Id seria homotópica a uma constante. Absurdo. Pois S^n não é contrátil.

CQD

Teorema 2 (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer): Toda aplicação contínua f: B^{n+1}\to B^{n+1} possui ponto fixo.

Demonstração: Com efeito, supõe-se que existe f: B^{n+1}\to B^{n+1} sem pontos fixos. Constrói-se, então, G: B^{n+1}\to S^{n} onde \displaystyle G(x) = \frac{ f(x)-x }{\left| f(x)-x\right| } .

É fácil notar que G não possui pontos fixos. Mas g = G|_{S^n} possui extensão contínua G . Logo, pelo lema sobre extensão, segue que g é homotópica a uma aplicação constante e, então, pelo lema 1, segue que g possui pontos fixos. Absurdo.

CQD

11 respostas para Ponto Fixo de Brouwer, 2ª demonstração

  1. André Caldas disse:

    Não entendi bem o lema…

    Se f não tem um ponto fixo, então isso implica que \alpha é homotópica a f?

    De qualquer forma, o que eu mais gostei foi a postura com relação ao “deslize”… nada de colcar a culpa em nada ou ninguém sem saber direito quem ou o que é o culpado.🙂

    Ah… aliás, você sabe que “mesmo no ambiente latex do wordpress”, você tem que escrever &lt; ao invés de apenas “<“? O mesmo para “>”: tem que escrever &gt;.

    André Caldas.

    • Lucatelli disse:

      Ou, só mais um comentário.
      Lembra daquela construção que eu estava fazendo na sala (e pedi sua ajuda)? Aquilo era eu tentando montar uma retração F:B^{n+1}\to S^n partindo da hipótese de absurdo que f:B^{n+1}\to B^{n+1} contínua não possui pontos fixos…
      Mas o problema era provar que F era contínua… depois, vi que dava para provar sem encontrar o valor de F (na verdade, é só verificar de forma indireta)…
      Para tentar deixar mais claro sobre o que estou falando, tem a figura do wikipedia.

      Mas, enfim, o legal desta demonstração que está neste post é que ela evita essa construção. A única coisa que deixei por verificar é que a tal G construída não teria pontos fixos. Mas isso é bem fácil de verdade (diferente da verificação da continuidade daquela retração) e, principalmente, é sem continhas…

      Verificação de que G não possui pontos fixos. Se, por absurdo, G possuisse um ponto fixo, então esse ponto fixo x estaria em S^n . E, então,
      f(x) = (1+\beta )x , onde
      \beta = \left| f(x)-x\right| . Mas isso implicaria \left| f(x)\right| > 1 . Absurdo.

      Bom, é isso!

      Abraço

  2. fernando disse:

    Opa!
    André, valeu pelo comentário.
    Aliás, bem rápido!🙂

    Eu não deixei claro isso, mas o deslize foi meu.
    Estou reformando um lema.🙂 A demonstração dele estava muito louca. Um delírio.🙂
    Por isso que coloquei “deslize estranho”.🙂
    Se fosse algum problema, eu provavelmente colocaria “houve algum problema”.🙂

    Sobre o lema, eu vi que coloquei de forma muito direta (sem explicar). Toda aplicação sem pontos fixos é homotópica à aplicação antípoda sim.🙂 Para ver isso, é só construir a homotopia.
    \displaystyle H(x,t) = \frac{t\alpha (x) + (1-t)f(x)}{\left| t\alpha (x) + (1-t) f(x)\right|}

    Mas vou deixar mais claro essa passagem…

    Com essa homotopia que construí, fica claro que duas aplicações contínuas da esfera na esfera que não possuem pontos em que são antípodas são homotópicas. Em particular, se uma aplicação não possui pontos fixos, então ela é homotópica à aplicação antípoda.

    Sobre o comentário do latex, não ficou muito claro para mim o que você quis dizer. Por acaso, o comentário se aplica a este post? QUer dizer, eu tenho que coorrigir algo?
    Você está falando que eu preciso colocar, mesmo no ambiente “visual” do wordpress, um código html para o >?
    Se é isso, eu não sabia não. Quando descobriu isso?

    Abraço

    • André Caldas disse:

      Sobre o comentário do latex, não ficou muito claro para mim o que você quis dizer. Por acaso, o comentário se aplica a este post? QUer dizer, eu tenho que coorrigir algo?

      Não. Foi um comentário “geral”.🙂

      Você está falando que eu preciso colocar, mesmo no ambiente “visual” do wordpress, um código html para o >?

      Agora você me pegou… não sei quanto ao ambiente “visual”…

      Na verdade, o > não é um grande problema… o wordpress concerta se tiver errado. Mas o < é o código HTML para início de TAG. Assim, depois de um <, tudo é “ignorado” até o próximo >.

      Quando descobriu isso?

      Nem sei… nem tinha me ligado que essa pode ser uma grande causa de “dor-de-cabeça”.

      • Lucatelli disse:

        Valeu pelo aviso sobre o >…😀

        Já fiz as correções relativas ao seu comentário no post. Acho que, agora, ficou mais clara aquela passagem qu você não tinha entendido.

        Além disso, destaquei que o deslize foi meu.

        Abraço

      • André Caldas disse:

        Esse negócio do deslize, eu tava elogiando sua postura! Eu já havia entendido que o deslize era, na sua opinião, seu.

      • Lucatelli disse:

        Sim! Sim!
        Obrigado pelo elogio.
        Mas, de qualquer forma, vou deixar destacado!🙂

        E valeu pelos comentários.

        Abraço🙂

  3. Lucatelli disse:

    Aliás, a demonstração do lema 1 ainda não estava clara…
    Então editei de novo.🙂

    Na primeira vez que escrevi, ficou legal porque ficou umas três linhas. Mas poderia causar alguma dúvida ao leitor. Depois da “correção”, ficou um pouco estranho.
    Agora, finalmente, corrigi!🙂

    Só queria deixar um comentário sobre essa demonstração. Com argumento análogo ao lema 1, poderíamos provar o seguinte:

    Lema: Se f: S^n\to S^n é contínua homotópica a uma aplicação constante, então existem x,y\in S tais que
    f(x) = x (ponto fixo) e f(y) = -y (antípoda).

    A demonstração disso vem do fato de que, f sendo homotópica a uma constante, não pode ser homotópica à identidade nem à aplicação antípoda.
    Do primeiro fato, vem que existe o tal y. E do segundo fato, vem que existe o ponto fixo.
    🙂

    Falou

  4. […] Espaços Contráteis Um espaço contrátil é um espaço topológico que tem o mesmo tipo de homotopia de um ponto. Neste post, vou apresentar duas caracterizações importantes desse espaço. Uma dessas caracterizações é usada no post sobre teorema do ponto fixo de Brouwer […]

  5. […] de suas conseqüências) foi assumido na maioria dos posts que trabalharam com (por exemplo, ponto fixo de Brouwer 1 e ponto fixo de Brouwer […]

  6. […] disso e do resultado apresentado no post, segue diretamente o seguinte o lema 1 do post sobre ponto fixo de Brouwer enunciado abaixo como “lema de Brouwer” (por ser intimamente ligado com o teorema do […]

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