Espaços Contráteis

Este post apresenta alguns comentários soltos sobre Espaços Contráteis e algumas relações desses comentários com o que já foi feito em outros posts. Um espaço contrátil é um espaço topológico que tem o mesmo tipo de homotopia de um ponto.  Uma caracterização de espaço contrátil é: “Um espaço topológico X é contrátil se, e somente se, a aplicação identidade Id:X\to X é homotópica a alguma aplicação constante”. Neste post, vou apresentar uma pequena variação dessa caracterização. Ambas caracterizações são usadas no post sobre teorema do ponto fixo de Brouwer, no entanto, a segunda não é assumida (é provada no contexto da demonstração do lema 1).

Seja X um espaço topológico. Uma involução (contínua) em X é uma aplicação contínua bijetiva T:X\to X cuja inversa é a própria T . Ou seja, T\circ T = Id . Evidente que, nesse caso, toda involução é um homeomorfismo. Um exemplo trivial de involução é a aplicação identidade.

Proposição 1: Sejam X um espaço topológico qualquer e T:X\to X uma involução qualquer. X é contrátil se, e somente se, T é homotópica a uma aplicação constante.

Demonstração: Com efeito, se X é contrátil, segue que o conjunto das classes de homotopia

\left[ X, X\right] é unitário. E, portanto, todas aplicações são homotópicas entre si. Em particular, T é homotópica a alguma aplicação constante. Reciprocamente, se T é homotópico a uma aplicação constante, segue que Id= T\circ T é homotópico a uma aplicação constante. Seja k: X\to X , k(x) = p essa aplicação constante homotópica a Id . Segue, então, que f: X\to \left\{ p\right\} e

g: \left\{ p\right\}\to X são equivalências homotópicas, afinal Id_{\left\{ p\right\} } = f\circ g : \left\{ p\right\}\to\left\{ p\right\} . E g\circ f = k é homotópico à aplicação identidade em X . Logo, de fato, X é contrátil.

CQD

Note que, na demonstração e no enunciado da proposição, está incluida a primeira caraterização enunciada nesse post. Além disso, assumindo que S^n não é contrátil (coisa que ainda vou demonstrar), essa proposição implica que a aplicação antípoda \alpha : S^n\to S^n (que é uma involução) não é homotópica a nenhuma aplicação constante. E, então, disso e do resultado apresentado no post, segue diretamente o seguinte o lema 1 do post sobre ponto fixo de Brouwer enunciado abaixo como “lema de Brouwer” (por ser intimamente ligado com o teorema do ponto fixo de Brouwer):

Lema de Brouwer: Se f: S^n\to S^n é uma aplicação contínua homotópica a uma aplicação constante, então f possui pontos fixos.

Demonstração: Bom, segue dos comentários que, por f ser homotópico a uma aplicação constante, f não é homotópico à aplicação antípoda \alpha . E, portanto, f possui pontos fixos.

CQD

Mas, como eu comentei anteriormente, esse lema poderia ser ainda mais forte. Como S^n não é contrátil, tem-se, pelo provado, que qualquer involução (em particular, a identidade) em S^n não é homotópica a uma constante. E, portanto, tem-se o seguinte lema.

Lema 3: Se f: S^n\to S^n é homotópico a uma aplicação constante, então existem x,y\in S^n tais que f(x) = x e f(y)=-y .

Demonstração: A existência do ponto fixo x está provada no lema de Brouwer. Como f é homotópico a uma aplicação constante, segue que não é homotópico à aplicação identidade. Logo existe y\in S^n tal que f(y)= -y .

CQD

Voltando aos comentários sobre espaços contráteis, seguem alguns resultados elementares (e bem importantes) sobre classes de homotopia e espaços contráteis.

Proposição 4: Sejam X um espaço contrátil e Y um espaço topológico qualquer. Segue que toda aplicação contínua f: X\to Y é homotópica a alguma aplicação constante. E, por outro lado, toda aplicação contínua g:Y\to X é homotópica a qualquer aplicação constante.

Demonstração: Seja k: X\to X uma aplicação constante homotópica à aplicação identidade em X . Dada f: X\to Y contínua, segue que f\circ k é homotópico à f\circ Id = f . Como f\circ k é constante, ficou provado que f é homotópico a uma aplicação constante.

Por outro lado, tem-se que a família das classes de homotopia \left[ Y, X\right] tem a mesma cardinalidade que \left[ Y, \left\{ p\right\} \right] . Como a última família tem carinalidade evidentemente igual a 1 , segue que \left[ Y, X\right] tem cardinalidade 1 . E, portanto, todas as aplicações Y\to X são homotópicas entre si. Em particular, qualquer aplicação contínua é homotópica a qualquer aplicação constante.

CQD

Desse simples resultado, segue uma generalização do lema sobre extensão.

Lema 5: Sejam X um espaço topológico contrátil, A\subset X e f:A\to Y uma aplicação contínua. Se existe uma extensão contínua F: X\to Y de f , então f é homotópico a uma aplicação constante.

Demonstração: Com efeito, tem-se, pela proposição 4, que a inclusão i: A\to X é homotópica a uma aplicação constante k : A\to X . Logo F\circ i = f é homotópica à F\circ k (que é constante).

CQD

Como todo convexo é contrátil, isso, da fato, generaliza o lema sobre extensão.

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