Outro lema sobre extensão

Sejam X um espaço topológico e A\subset X . Diz-se que A é um retrato de X se existe uma aplicação contínua R: X\to A tal que R(x) = x para todo x\in A . Isso, em termos de extensão contínua, pode ser colocado da seguinte forma A\subset X é um retrato de X se a aplicação Id: A\to A possui extensão contínua R: X\to A . A extensão contínua R: X\to A é chamada de retração.

Aqui, vou apresentar um lema sobre extensão que, na verdade, é uma caracterização de retratos de espaços.

Lema 1: Seja X um espaço topológico. Um subespaço A\subset X é retrato de X se, e somente se, toda aplicação f:A\to Y contínua possuir uma extensão contínua F: X\to Y .

Demonstração: Com efeito, se toda aplicação f:A\to Y possui extensão contínua, segue, em particular, que Id :A\to A possui extensão contínua R: X\to A . Logo A é retrato.

Reciprocamente, se A\subset X é um retrato, toma-se a retração R: X\to A . Dada f:A\to Y contínua, segue que F := f\circ R é uma extensão contínua de f .

CQD

Sejam X um espaço topológico e A\subset X . Uma retração R: X\to A é chamada de retração por deformação se ela for, também, uma equivalência homotópica com inverso homotópico sendo a inclusão i:A\to X .

Usando o lema sobre extensão, segue um resultado interessante: todo retrato de um espaço contrátil é contrátil. Afinal, se X é um espaço contrátil e A\subset X é retrato do espaço X , segue que Id: A\to A possui extensão contínua. E, pelo lema sobre extensão , isso implica que Id é homotópica a uma aplicação constante. Portanto A é contrátil.

Outra forma de provar isso, é vendo que, se X é um espaço contrátil, toda retração com domínio em X é uma retração por deformação. Afinal, se R:X\to A é uma retração, tem-se que a inclusão i:A\to X   é homotópica a alguma aplicação constante. Logo R\circ i =Id e i\circ R é homotópico a uma aplicação constante. Como X é contrátil, segue que i\circ R :X\to X , por ser homotópico a uma aplicação constante, é homotópico à aplicação identidade. Isso provou que, de fato, R é uma equivalência homotópica e, portanto, A contrátil.

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