Grupo Fundamental de Grupos Topológicos

Uma das características interessantes do functor grupo fundamental é que nem todo espaço topológico possui grupo fundamental abeliano. Por exemplo, todas superfícies compactas de gênero maior ou igual a 2 possuem grupo fundamental não abeliano.

Vou mostrar, neste post, que todos grupos fundamentais de um grupo topológico são isomorfos. Além disso, vou provar qu eles são abelianos. Isso tem algumas implicações interessantes. Por exemplo, se um espaço topológico X possui grupos fundamentais não-abelianos, segue que X não admite uma estrutura de grupo que o torne um grupo topológico.

Teorema 1: Seja G um grupo topológico. Todos grupos fundamentais de G são isomorfos entre si.

Demonstração 1: Com efeito, se os pontos base de dois grupos fundamentais estiverem na mesma componente conexa por caminhos, segue que eles são isomorfos. Caso contrário, é fácil ver que \pi _1 (G, x) = \pi _1 (H,x) quando H é a componente conexa por caminhos de x (isso é bem tranqüilo de provar, mas talvez eu comente (ou demonstre) em algum post).  Como todas componentes conexas por caminhos num grupo topológico são homeomorfas entre si, segue que elas têm o mesmo grupo fundamental.

CQD


Sejam G um grupo topológico e i\in G seu elemento neutro. Toma-se a componente conexa por caminhos do elemento neutro H\leq G (que é um subgrupo topológico). Será provado que H possui grupo fundamental abeliano.

Define-se no grupo fundamental \pi _1 (H, i) uma outra operação. Dados \alpha = \left[ a\right], \beta = \left[ b\right]\in\pi _1 (H,i) (onde a,b:I\to H são caminhos com base i ), define-se \alpha\bullet\beta = \left[ \alpha\cdot\beta\right] , onde \alpha\cdot\beta :I\to H , com \alpha\cdot\beta(s) = a(s)\cdot b(s) (aqui, \cdot denota a operação no grupo H ). Resta provar que a operação \bullet está bem definida.

Primeiramente, prova-se que \alpha\cdot\beta é, de fato, um caminho com base em i . Com efeito, tem-se que \alpha\cdot\beta = m\circ (\alpha , \beta ) , ou seja, \alpha\cdot\beta é composição de aplicações contínuas e, portanto, é contínua. Além disso, tem-se que \alpha (0)\cdot\beta (0) = i\cdot i = i = i\cdot i =\alpha (1)\cdot\beta (1) . Portanto, de fato, \left[ \alpha\cdot\beta\right]\in \pi _1 (H,i) . Resta provar que a definição não apresenta ambigüidade. Dados \alpha = \left[ a_1\right] = \left[ a_2\right], \beta = \left[ b_1\right] =\left[b_2\right] no grupo fundamental \pi _1(H,i) , segue que existem homotopias H: a_1\cong a_2 e L: b_1\cong b_2 relativas ao ponto i . Logo é fácil de verificar queG: I\times I\to H tal que G(s,t) = H(s,t)\cdot L(s,t) é uma homotopia entre a_1\cdot b_1 e a_2\cdot b_2 relativa ao ponto i . Isso provou que \left[ a_1\cdot b_1\right] = \left[ a_2\cdot b_2\right] . E, portanto, isso completou a prova de que a operação \bullet está bem definida.

Teorema 2: Seja G um grupo topológico. Todos grupos fundamentais de G são abelianos. Além disso, o produto acima definido coincide com a operação usual no grupo fundamental.

Demonstração: Com efeito, pelo provado no teorema 1, basta provar que o grupo fundamental da componente conexa por caminhos do elemento neutro i\in G é abeliano. Sejam H essa componente conexa por caminhos e e_i\in\pi _ i (H,i) o caminho constante. Dados \left[ a\right] , \left[ b\right]\in \pi _i (H,i) , é fácil verificar que

\left[ a\right] \left[ b\right] =\left[ ab\right] = \left[ ae_i\cdot e_ib\right] =

\left[ ae_i\right]\bullet\left[ e_ib\right] = \left[ a\right]\bullet\left[b\right] =

\left[ e_ia\right]\bullet \left[ be_i\right] = \left[ e_ia\cdot be_i\right] =

\left[ ba\right] = \left[ b\right] \left[a\right]

Isso provou as duas afirmações do teorema.

CQD

Com esse teorema, podemos, por exemplo, concluir que, para n\geq 2 , um n – toro não admite estrura de grupo que o torne um grupo topológico. Além disso, é com esse teorema que vou provar, futuramente, que se n\geq 2 , o n-ésimo grupo de homotopia de um espaço é necessariamente abeliano. Ou seja, dentre os grupos de homotopia, só o grupo fundamental pode não ser abeliano!!!

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