Homeomorfismo do Produto

O que vou expor aqui está intimamente ligado com o post sobre Conjunto de Cantor e com o post sobre Curvas de Peano (que serão feitos nos próximos dias). O post será breve: apenas para expor um resultado simples. Antes de falar de produto de espaços topológicos, é importante relembrar a definição de topologia produto. E, para isso, há um post muito bem escrito pelo André.

Aqui, vou fazer apenas uma discussão breve sobre uma propriedade da topologia produto. A pergunta é: “Quando um espaço topológico X é homeomorfo ao espaço X\times X ?” (Existem espaços que satisfazem isso (por exemplo, um ponto). E, como pode ser visto no post, o conjunto de Cantor satisfaz essa propriedade).

Seja X um espaço topológico. Se X é homeomorfo a X\times X , é fácil ver, fazendo uma indução óbvia, que X é homeomorfo a X^n (para qualquer n\in\mathbb{N} ). Isso seria, portanto, uma condição necessária.

Neste post, não me preocuparei em procurar uma condição “necessária e sufieciente”, vou apenas destacar uma condição suficiente. Uma condição suficiente para que X seja homeomorfo a X^n é que X seja homeomorfo a um produto Y^{\mathbb{N} } de um espaço topológico Y qualquer. Isso será enunciado e provado abaixo.

Lema 1: Sejam X, Y espaços topológicos. Se X é homeomorfo a Y^\mathbb{N} , segue que X é homeomorfo a X^{\mathbb{N}} e a X^n (para qualquer n\in\mathbb{N} ).

Demonstração: Com efeito, basta provar que Z=Y^\mathbb{N} é homeomorfo a Z\times Z e a Z^\mathbb{N} .  Define-se a aplicação

f: Z\to Z\times Z , onde f(x_1, \ldots , x_n , \ldots ) = ((x_1 , \ldots , x_{2n+1} ,\ldots ), (x_2,\ldots , x_{2n}, \ldots )) .

Ou seja, dada uma seqüência (x_n)\in Z =Y^{\mathbb{N} } , tomam-se as as subseqüências dos termos de índice ímpar (x_{2n-1}) e a subseqüência dos termos de índice par (x_{2n}) . E, então, define-se f((x_n)) =((x_{2n-1}), (x_{2n})) . É fácil de verificar que essa aplicação é bijetiva. E, usando as projeções, é fácil verificar que f é um homeomorfismo.

E, seja \displaystyle\mathbb{N} = \bigcup _{i=1}^\infty \mathbb{N}_i uma partição de \mathbb{N} em conjuntos infinitos \mathbb{N}_i .

De fato, bastava tomar, para i\neq 1 , o conjunto \mathbb{N}_i =\left\{ p_{i+1}^k:k\in\mathbb{N}\right\} , onde p_{i+1} é o (i+1) -ésimo primo. E, então, bastava fazer \mathbb{N}_1 = \mathbb{N} - \displaystyle\bigcup _{i=1}^\infty \mathbb{N}_i .

Define-se g: Z\to Z^{\mathbb{N}} , onde g( (x_n) ) = ((x_k)_{k\in\mathbb{N}_1}, \ldots , (x_k)_{k\in\mathbb{N}_n} , \ldots ) . E, de forma análoga, é fácil ver que g é uma bijeção e, também, é fácil verificar que g é um homeomorfismo.

CQD

E, para completar esse post, vou expor uma conseqüência óbvia.

Conseqüência: Seja X um espaço topológico. Para X ser homeomorfo a X^{ \mathbb{N}} é necessário e suficiente que X seja homeomorfo a algum produto de espaços topológicos Y^\mathbb{N} .

3 respostas para Homeomorfismo do Produto

  1. […] Aqui, vou tentar construir de forma direta uma curva de Peano em , qualquer. Para isso, vou utilizar algumas considerações do post anterior. […]

  2. André Caldas disse:

    Bacana isso!🙂

    Ah… tem um link lá em cima que tem um #respond ao final. O ideal seria que o link não tivesse essa parte, já que isso serve pra redirecionar para o “formulário de resposta” quando a página é carregada.

  3. Lucatelli disse:

    Oi!
    Qual link tem esse problema?

    Se puder, pode editar para mim por favor.

    Abração

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