Motivando o determinante de matrizes 3×3

Olá pessoal,

Pensando numa explicação razoável de determinantes para estudantes de ensino médio, procurei em alguns livros de ensino médio e na internet uma motivação para a definição do determinante de matriezes 3×3 e… Não achei!

Vocês conhecem alguma motivação?

Eu escrevi uma nesse rascunho aqui: Determinante 3×3

Quem se interessar, sugira (e critique) à vontade nos Comentários para melhorarmos o rascunho!🙂

10 respostas para Motivando o determinante de matrizes 3×3

  1. Lucas Seco disse:

    Se alguém quiser brincar com o arquivo .tex, é só pedir que eu envio🙂

  2. Conrado disse:

    Não dá para motivar geometricamente como área/volume com sinal?

    • Lucas Seco disse:

      Conrado, a motivação geométrica como área/volume orientado é minha preferida para o ensino superior (aliás, você sabe de algum livro de Álgebra Linear para graduação que motiva assim?)

      Para o ensino médio ela me parece muito abstrata pois
      1) usa vetores, multinearidade e alternância
      2) a ligação com sistemas lineares é bem a posteriori

      O que você acha?

      PS – estou pensando num estudante médio de ensino médio que se pergunte “de onde vem isso?”, mas não necessariamente um estudante olímpico, sabe? Mas não tenho experiência de ensinar no ensino médio: estou me baseando em achismos😉

      • Conrado disse:

        Provavelmente apresentar determinantes como volume para uma audiência desinteressada, carente dos conceitos básicos e em pouco tempo é loucura, mas, podendo fazer a Geometria Analítica corretamente (que consta no currículo do Ensino Médio) e tendo um bom plano de atividades, penso que as chances de sucesso sejam boas. (Isso teria que ser testado, é claro.)

        Quanto ao livro, não conheço um que faça isso. Diga-se de passagem, não conheço nenhum livro de Álgebra Linear para graduação que seja bom, i.e., que tenha todos os assuntos, defina os conceitos direito, prove os teoremas, apresente as aplicações e ensine a calcular. Você conhece?

    • André Caldas disse:

      Eu concordo. O único problema com a geometria é que o cara tem que enxergar. Já com a álgebra… é só um monte de contas que ele não precisa enxergar nem entender. No final o professor diz:
      – Viu!

      Regra de Cramer deveria ser uma aplicação dos conceitos aprendidos. Mas o problema é que a regra de Cramer é apresentada como se alguém fosse usar isso pra ficar resolvendo sistemas lineares. No final das contas, acaba não servindo nem pra fazer contas, nem pra aprender os conceitos… pro professor é muito conveniente, porque é fácil avaliar o estudante:
      -Utilize a regra de Cramer para calcular…

      • Conrado disse:

        Determinante é um troço desgraçado. Difícil de motivar, as contas são terríveis, e no final se usa para muito pouco (comparado com trabalho que é entendê-lo). Do ponto de vista computacional, qualquer errinho nas entradas da matriz manda ele longe, e calculá-lo dá exatamente o mesmo trabalho que resolver o sistema.

        Tem aquele livro “Linear Algebra Done Right” do Sheldon Axler (editor da GTM) que se propõe a fazer álgebra linear sem determinante. É bem legal.

  3. Lucas Seco disse:

    Valeu pela discussão pessoal!

    Pensando bem, isso que eu escrevi não é bem uma motivação para o determinante 3×3… Isso surgiu mais da curiosidade de entender como “tirar do chapéu” o determinante 3×3 de um jeito parecido com o que se tiraria o 2×2. Dá para fazer isso fazendo o caso 2×2 de um jeito um pouco diferente que o habitual mas, como o André disse, é muita continha.

    De fato, nem sei se determinante ou mesmo matrizes deveriam ser ensinadas pra todo mundo no ensino médio… Alguém sabe onde as matrizes são usadas no Ensino Médio além de dentro do próprio conteúdo de Sistemas Lineares?

    Do mesmo jeito que -como o Conrado- eu acho o jeito certo de ensinar determinante é via volume, o jeito certo de ensinar matrizes é via transformações lineares… Mas talvez eu esteja viajando: teria que testar essas coisas em sala de aula😉

    Acho que é fato consumado entre nós aqui que o nosso Ensino Médio é uma porcaria, poderíamos conversar mais sobre isso…

    PS – Conrado, muito bacana esse livro de Álgebra Linear sem determinantes: vale a pena divulgá-lo num post aqui do blog😀 Achei esse texto do autor em que ele resume o approach dele😉
    http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH110/DownDets.pdf

    Um abraço,
    Lucas.

    • Conrado disse:

      Deixa eu compartilhar um link com uma versão (graficamente) melhor desse paper: http://www.axler.net/DwD.pdf.

    • Conrado disse:

      Problemas de economia usam muito matrizes (especialmente as totalmente positivas), mesmo os mais simples. Lembro que no colégio meu professor de matemática gastou algum tempo falando deles, inclusive usando-os como motivação para os sistemas lineares e matrizes.

      • Lucas Seco disse:

        Minha pergunta é: TODOS os estudantes do ensino médio precisam aprender esses problemas de economia que envolvem matrizes ou é melhor deixá-los apenas para os estudantes mais interessados?😉

        Me me lembro que no segundo ano do ensino médio meu professor de matemática comentou que matrizes eram muito importantes para computação gráfica, mas ele nunca explicou explicou porque… Isso foi o suficiente para eu despertar meu interesse que, porém, nunca chegou perto de ser satisfeito no ensino médio… Só entendi mesmo a idéia de matrizes depois que, mais tarde e por conta própria, eu peguei um livro de computação gráfica para estudar. E acho que eu ter tido contato anterior com matrizes não ajudou praticamente nada…

        Fico pensando no tanto de pessoas que viu matrizes para nada, o que só deve ter servido para a pessoa achar a matemática mais inútil ou se sentir mais incapaz. Ou seja, um desserviço.

        É claro que tem a questão de expor o estudante a alguns assuntos para despertar o interesse dele, mas acho que nosso ensino médio tem assunto demais, decoreba demais e entendimento de menos. Também pudera, TODOS os assuntos são obrigatórios, o que eu acho totalmente errado!😦

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