Conexidade da Compactificação de Um Ponto/Alexandroff

Todos vemos no curso de topologia que pode-se acrescentar um ponto a qualquer espaço topológico não compacto X para torná-lo compacto (a tal compactificação de um ponto, ou de Alexandroff, que denotaremos por X^*). Admitindo que X é de Hausdorff e localmente compacto, tem-se que X^* também possui essas propriedades. Além disso, uma vez que X acaba sendo um subespaço denso de X^*, tem-se adicionalmente que X^* é conexo sempre que X o for. (A recíproca dessa última afirmação não é verdadeira: se X é a união de dois discos fechados que se tangenciam num ponto, menos esse ponto de tangência, então X é desconexo apesar de X^* ser conexo.)

A questão que eu gostaria de levantar é a seguinte: quais condições sobre X garantem que X^* é conexo por caminhos? Sem enrolar muito, o critério que encontrei é o seguinte:

Proposição: Se X é um espaço topológico de Hausdorff não compacto, localmente compacto, conexo por caminhos e \sigma-compacto, então X^* é conexo por caminhos.

Dem.: Seja \{K_n:n\in\mathbb N\} uma família de subespaços compactos de X tal que K_n\subseteq K_{n+1} e X = \bigcup_{n\in\mathbb N} K_n. Dado x\in X, precisa-se mostrar que existe uma curva contínua \tilde\gamma:[0,1]\to X^* tal que \tilde\gamma(0) = x e \tilde\gamma(1) = \infty, em que X^* = X\cup\{\infty\}. Pode-se supor, sem perda de generalidade, que x\in K_0. Deste modo, seja (x_n)_{n\in\mathbb N} uma sequência de pontos de X tal que x_0 = x e x_n\in K_n\backslash K_{n-1} para n>0. Pela definição da topologia de X^* tem-se x_n\to\infty. Como X é conexo por caminhos, para cada n existe uma curva \gamma_n:[n,n+1]\to X\subseteq X^* satisfazendo \gamma_n(n) = x_n e \gamma_n(n+1) = x_{n+1}. Usando que [0,+\infty) é homeomorfo a [0,1) por uma função crescente (e.g. f(t) = \frac{t}{1-t}, 0\leq t<1), produz-se uma curva \gamma:[0,1)\to X e uma sequência de pontos (t_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq [0,1) satisfazendo t_n<t_{n+1}, t_n\to1 e \gamma(t_n) = x_n. A curva \tilde\gamma definida por \tilde\gamma(t) = \gamma(t) para t\in[0,1) e \tilde\gamma(1) = \infty satisfaz as condições desejadas. QED

Então, X ser \sigma-compacto é suficiente, e desconfio que também é necessário, mas não consegui encontrar um exemplo que mostrasse isso. Se alguém achar, posta um comentário aí.

8 respostas para Conexidade da Compactificação de Um Ponto/Alexandroff

  1. André Caldas disse:

    Seja X um espaço de Hausdorff conexo por caminhos localmente compacto mas NÃO sigma-compacto. Faça uma “colagem” de [0,1) com X identificando um ponto de X com o ponto 0. Chame esta colagem de Y. A compactificação por um ponto de Y é conexa por caminhos, pois \infty pode ser ligado por um caminho a 0, que por sua vez pode ser ligado por um caminho a qualquer ponto de X.

  2. Conrado disse:

    Nunca iria pensar numa coisa dessas…😛

  3. André Caldas disse:

    Pelo seu raciocínio, acho que é necessário e suficiente que exista uma sequência x_n \rightarrow \infty. Isso NÃO é o mesmo que exigir que \infty tenha uma base local enumerável, o que me parece ser equivalente (ou muito parecido: base local enumerável para \infty implica em sigma-compacto) com a condição de sigma-compacidade. No meu contra exemplo, existe uma tal sequência, mas \infty não tem uma base local enumerável (já que Y não é sigma-compacto).

    • Conrado disse:

      Bem, você matou o problema.

    • Fernando Lucatelli disse:

      Oi, André e Conrado,
      Gostei do post e do contra-exemplo.
      Muito legal a demonstração do Conrado.
      Eu estou apressado, então desculpe qualquer erro óbvio. EU não tenho muito a acrescentar! =)

      Na verdade, se não me engano, para espaços Hausdorff localmente compactos, essa condição feia de \sigma compacidade é equivalente ao espaço compactificado ser metrizável.
      A condição de enumerável no infinito também é equivalente a isso. Então essa existência da sequência x_n\to \infty fica óbvia nesse caso de metrizibilidade do espaço compactificado.
      Considerando essas equivalências, ficaria suspeito a recíproca ser verdadeira… hehe…

      A princípio, pensei justamente no que disse: a conexidade por caminhos do espaço compactificado depende do infinito conseguir ser conectado a algum ponto do espaço. E, pala demonstração do Conrado, fica tranquilo ver que a conexidade por caminhos do espaço compactificado é equivalente a existir uma sequencia convergindo para infinito.

      Eu fiquei achando estranho no começo porque não tinha visto a hipótese de que o espaço original era conexo por caminhos… No caso do espaço conexo por caminhos original não ser conexo por caminhos, acho que vai ter que acabar avaliando mesmo cada componente conexa por caminhos.
      No caso em que as componentes conexas coincidem com as componentes conexas por caminhos, a compactificação de Alexadrov pare ser o wedge das compactificações de Alexandrov de cada componente conexa por caminhos. Nesse caso, o espaço compactificado é conexo por caminhos se, e somente se, cada compactificação é conexa por caminhos (o que é equivalente ao que já colocaram aqui).
      Agora, quando as componentes conexas não coincidem com as componentes conexas por caminhos, EU ACHO que é quase a mesma coisa… Não sei. O espaço compactificado certamente não é o wedge das compactificações. Mas, usando a idéia de que basta provarmos que infinito é conectável a um ponto de cada componente conexa por caminhos do espaço original, teríamos que avaliar os espaços conexos por caminhos (e, como provaram (usando o teorema do Conrado que prova de que um tal caminho existe se, e somente se, existe a sequencia indo para infinito), deveriam existir sequências indo para infinito em cada componente conexa por caminhos).

      • Fernando Lucatelli disse:

        Opa! Agora, mudei minha certeza. Só vale mesmo a segunda afirmação….

        O resultado sobre wedge só parece verdadeiro quando é número finito de componentes conexas.

        Mas a história do infinito se conectar (e portanto bastar avaliar as componentes conexas por caminhos) parece estar certa mesmo.

  4. Fernando disse:

    Só um comentário final. A história do wedge vale para espaços (Haudorff localmente compactos) localmente conexos por caminhos.
    E a história do infinito vale sempre (para espaços Hausdorff localmente compactos). Mas não sei se seria melhor forma de caracterizar no caso de espaços não conexos por caminhos.

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