Variedades Flag de Posto Um São Esferas.

Da série “Entendendo a Tese do Lonardo”.

Teorema. Seja G um grupos de Lie semissimples cuja álgebra de Lie \mathfrak g tem posto real um, e tomemos P\subseteq G um subgrupo parabólico (único a menos de conjugação). Então, a variedade flag G/P é difeomorfa a \mathbb S^n, em que n =\dim (\mathfrak g_\alpha\oplus\mathfrak g_{2\alpha}) e \alpha é raiz simples.

Demonstração. Em geral, \mathfrak g=\mathfrak n^-\oplus\mathfrak m\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n^+\mathfrak p=\mathfrak m\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n^+, de modo que \dim(G/P)=\dim \mathfrak n^-=\dim\mathfrak n^+. Como o posto real de \mathfrak g é um, temos \mathfrak n^+=\mathfrak g_\alpha\oplus\mathfrak g_{2\alpha}. Resta provar que G/P é uma esfera.

Para tanto, lembramos que G/P é difeomorfo a K/M, em que G=KAN e P=MAN são as decomposições de Iwasawa, e que K/M é equivalente, como K-espaço homogêneo, à órbita de um elemento regular H\in\mathfrak s por \mathrm{Ad}(K). A hipótese do posto real de \mathfrak g ser um implica duas coisas: (i) para H\in\mathfrak s ser regular basta H\neq 0, e (ii) existe uma correspondência 1-1 entre elementos regulares de \mathfrak s e subespaços abelianos maximais pela relação \mathfrak a = \mathbb R H.

Escolhamos, então, um vetor H\in\mathfrak s tal que ||H||^2 = B(H,H)=1 (B é forma de Cartan-Killing de \mathfrak g, que é um produto interno quando restrita a \mathfrak s) e ponhamos \mathfrak a:=\mathbb R H. Como \mathrm{Ad}(K) preserva B, então \mathrm{Ad}(K)H\subseteq \mathbb S_1(\mathfrak s). Reciprocamente, se H'\in\mathbb S_1(\mathfrak s) e \mathfrak a': =\mathbb R H', então existe k\in K tal que \mathrm{Ad}(k)\mathfrak a = \mathfrak a', isto é, \mathrm{Ad}(k)H=\pm H'. Como todo elemento do grupo de Weyl admite representante em K via \mathrm{Ad}, concluimos que \mathrm{Ad}(k')H=H' para algum k'\in K, ou seja, que H'\in\mathrm{Ad}(K)H. Isto prova que G/P=K/M=\mathrm{Ad}(K)H = \mathbb S_1(\mathfrak s). \square

Aqui usamos a restrição para o K. Tem como construir diretamente uma ação transitiva de G numa esfera com isotropia P?

Uma resposta para Variedades Flag de Posto Um São Esferas.

  1. Lucas Seco disse:

    Bacana a série “entendendo a tese do Lonardo” Conrado🙂

    Olha, eu não sei uma resposta razoável para a sua pergunta de construir diretamente uma ação transitiva de G numa esfera com isotropia P…

    Uma resposta não razoável é que G age em K e, portanto age na órbita Ad(K)H, com isotropia de H dada por P. A ação de G em K é dada pela decomposição de Iwasawa:
    g.k = K(gk),
    onde K(*) é a K-parte de * na decomposição de Iwasawa G = KAN.

    Uma maneira concreta de ver essa ação no caso G=Sl(n,R) e K=SO(n,R) é usar que
    K(g) = matriz ortogonal obtida aplicando Gram-Schmidt nas colunas de g
    Portanto
    g.k = Gram-Schmidt nas colunas de gk

    Para mim não é nada óbvio que isso é uma ação, mas isso segue da seguinte propriedade da K-parte: para g’, g em G temos
    K(g’ g) = K(g’ K(g))
    Esse propriedade pode ser verificada da seguinte maneira: sejam
    g = kan
    g’k = k’a’n’
    decomposições de Iwasawa. Então
    g’g = g’k an = k’ a’n’ an = k’ (a’ a) (a^{-1} n’ a) n
    onde esse último e a decomposição de Iwasawa de g’g, pois A normaliza N. Segue que
    K(g’g) = k’ = K(g’k) = K(g’K(g)),
    como queríamos.

    Espero que tenha ajudado em alguma coisa😉

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