Teorema de Cayley-Hamilton

Um enunciado e demonstração bacana de que o polinômio característico de uma transformação linear A anula essa transformação, em outras palavras:

Teorema. (A - \lambda_1)(A - \lambda_2) \ldots (A-\lambda_n) = 0

onde A é uma transformação linear de um espaço vetorial complexo de dimensão n com autovalores \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n (com possíveis repetições).

Demonstração. Escolha uma base e_1, e_2, e_3, \ldots na qual a matriz de A é triangular superior de modo que

A =\begin{pmatrix} \lambda_1 & * & * & \cdots \\ & \lambda_2 & * & \cdots \\ & & \lambda_3 & \cdots \\ & & & \ddots \end{pmatrix}

e então

\begin{array}{r}  (A-\lambda_1)(A-\lambda_2) (A-\lambda_3) \ldots = \\  \begin{pmatrix}  0 & * & * & \cdots \\ & * & * & \cdots \\ & & * & \cdots \\ & & & \ddots  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  * & * & * & \cdots \\ & 0 & * & \cdots \\ & & * & \cdots \\ & & & \ddots  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  * & * & * & \cdots \\ & * & * & \cdots \\ & & 0 & \cdots \\ & & & \ddots  \end{pmatrix}  \ldots  \end{array}
onde a ordem dos fatores no produto pode ser trocada.

Calculando em e_1 temos que

\begin{array}{rcl}  \ldots (A-\lambda_1) e_1 & = & \\  \begin{pmatrix}  0 & * & * & \cdots \\ & * & * & \cdots \\ & & * & \cdots \\ & & & \ddots  \end{pmatrix} e_1 & = & 0  \end{array}

Calculando em e_2 temos que

\begin{array}{rcl}  \ldots (A-\lambda_1)(A-\lambda_2) e_2 & = & \\  \ldots (A-\lambda_1) \begin{pmatrix} * & * & * & \cdots \\ & 0 & * & \cdots \\ & & * & \cdots \\ & & & \ddots \end{pmatrix} e_2 & = & \\  \ldots (A-\lambda_1) * e_1 & = & 0  \end{array}

Calculando em e_3 temos que

\begin{array}{rcl}  \ldots (A-\lambda_1)(A-\lambda_2)(A-\lambda_3) e_3 & = & \\  \ldots (A-\lambda_1) (A-\lambda_2) \begin{pmatrix} * & * & * & \cdots \\ & * & * & \cdots \\ & & 0 & \cdots \\ & & & \ddots \end{pmatrix} e_3 & = & \\  \ldots (A-\lambda_1)(A-\lambda_2) * e_1 + * e_2 & = & 0  \end{array}

E assim em diante, calculado na base e_1, e_2, e_3, \ldots, e_n esse produto dá zero, logo o produto é a matriz zero. \square

Algumas considerações:

  • A demonstração formal seria por indução e com alguns detalhes a mais, mas acredito que a demonstração acima ilustra bem as ideias e, o mais bacana, deixa claro porque as coisas funcionam!
  • Os dois tipos de demonstração que eu conhecia disso eram: via matriz de cofatores (é feia, se presta a generalizações para matriz sobre anéis, mas é algébrica demais), via densidade de matrizes complexas diagonalizáveis (é bacana, mas usa topologia e continuidade e pressupõe mais maturidade). Essa aqui usa apenas coisas básicas de álgebra linear mas é geral suficiente para matrizes sobre corpos (tomando o fecho algébrico do corpo). É claro que teria que depois argumentar porque o teorema também vale para matrizes reais.
  • Nunca ensinei Álgebra Linear, mas em termos da sequência de assuntos, imagino assim: dentro do tópico de subespaços invariantes e formas normais de transformações 1) definição de autovetor e autovalor, 2) definição de polinômio característico. Daqui em diante num espaço vetorial complexo: 3) existência de $n$ autovalores complexos (raízes do polinômio característico), 4) existência de pelo menos um autovetor para cada autovalor distinto, 5) a existência de uma uma base na qual a matriz de uma transformação é triangular superior: consequência da existência de autovetor, pode ser feita mais concretamente com matrizes ou mais abstratamente com espaços e transformações quocientes, na forma triangular superior os autovalores aparecem na diagonal.
  • A forma triangular superior de uma transformação pode ser  a primeira forma normal (também conhecida como forma de Schür), que depois poderia ser refinada para a forma de Jordan. Note que a forma de Schür pode motivar a definição de autoespaços generalizados.

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