Quando é que um subespaço fechado possui complemento?

novembro 11, 2010

Segundo o artigo de Hilbert space da Wikipedia, vale o seguinte resultado surpreendente!

A Banach space X is such that, to every closed subspace V, there is a closed subspace W such that X is equal to the internal direct sum V\oplus W if and only if X is topologically and linearly isomorphic to a Hilbert space.

Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L. (1971), “On the complemented subspaces problem”, Israel Journal of Mathematics 9: 263–269, doi:10.1007/BF02771592MR0276734ISSN 0021-2172.
Esse artigo está disponível aqui no blog.

Tem um survey de 2006 sobre essa questão está disponível aqui no blog ou aqui.  Nesse survey ele expõe diversos exemplos de subespaços fechados que não possuem complementos: por exemplo c_0 em l_\infty! Fala também sobre a história e questões em aberto envolvendo esse problema.


Completude dos Espaços L^p

fevereiro 21, 2010

Considere uma medida \mu. É um tanto quanto fácil mostrar que o espaço normado (L^\infty(\mu), \| \cdot \|_\infty) é completo. O primeiro passo é mostrar que dada uma sequência de Cauchy f_n, esta sequência converge pontualmente para uma função f. É fácil ver que f \in L^\infty. Aí então, mostramos que \|f_n - f\|_\infty \rightarrow 0.

O caso 1 \leq p < \infty é semelhante. No entanto, neste caso, exibir o limite pontual de f_n não é tão simples. Vamos começar com um lema que, como sempre, poderia estar simplesmente embutido/escondido na demonstração.

Lema: Seja (X, \|\cdot\|) um espaço normado. Para que seja um espaço de Banach, é suficiente que toda série absolutamente convergente (\sum \|x_n\| < \infty) seja convergente.

Demonstração:
Seja y_n uma sequência de Cauchy. Podemos assumir que y_0 = 0. Faça N(0) = 0. E, para todo k > 0, escolha N = N(k) > N(k-1) tal que n \geq N \Rightarrow \|y_N - y_n\| \leq \frac{1}{2^k}. Assim, para k > 0, a série dada por x_k = y_{N(k)} - y_{N(k-1)} é absolutamente convergente. Por hipótese, a sub-sequência y_{N(k)} = \sum_{n=1}^{N(k)} x_n converge. Basta então notar que toda sequência de Cauchy que possui sub-sequência convergente converge para o mesmo limite.


Teorema: O espaço normado (L^p, \|\cdot\|_p), 1 \leq p < \infty é completo.

Demonstração:
Pelo lema anterior, basta mostrar que uma série absolutamente convergente dada pelos termos h_n é convergente. Dizer que a série dada por h_n é absolutamente convergente é o mesmo que dizer que existe M tal que \sum_{j=1}^n \|h_j\|_p \uparrow M.

Seja f_n = \sum_{j=1}^n h_j e g_n = \sum_{j=1}^n |h_j|.

Por ser crescente, g_n possui limite pontual (que pode ser infinito) g.

Afirmação 1: g \in L^p.

Pelo teorema da convergência monótona, como |g_n|^p \uparrow |g|^p, temos que \|g_n\|_p \rightarrow \|g\|_p. Então, \|g_n\|_p \leq \sum_{j=1}^n \|h_j\|_p \uparrow M, e em particular temos que g \in L^p.

Como g \in L^p, temos que o conjunto dos pontos onde g é infinito tem medida nula. Ou seja, a série h_n(x) converge absolutamente qtp. Em particular, f_n possui limite f qtp.

Afirmação 2: f \in L^p.

Temos que |f_n| \leq g_n \leq g. Ou seja, |f_n|^p \leq g_n^p \leq g^p \in L^1. Pelo teorema da convergência dominada, \|f\|_p = \lim \|f_n\|_p \leq \|g\|_p.

Afirmação 3: \|f_n - f\|_p \rightarrow 0.

Sabemos que f_n - f \rightarrow 0 pontualmente. Também é verdade que |f_n - f| \leq 2g. Novamente, pelo teorema da convergência dominada, \int |f_n - f|^p \rightarrow \int \lim |f_n - f|^p = \int 0 = 0.

A afirmação 3 concluí a demonstração.


O lema poderia de fato ter sido embutido na demonstração do teorema. Para isso, poderíamos por exemplo, bastava ter construído a série h_k = f_{N(k)} - f_{N(k-1)} a partir da sequência f_n, assumindo f_0 = 0.


Funcional de Minkowski

fevereiro 5, 2010

Neste post, vamos tratar apenas os espaços vetoriais reais.

Em análise funcional, o teorema de extensão de Hahn-Banach é uma ferramenta que nos garante a existência de uma gama de funcionais lineares em um espaço de Banach. Na verdade, vamos mostrar que não precisamos que o espaço seja de Banach. Em geral, estamos considerando um espaço vetorial topológico. Que é simplesmente um espaço vetorial dotado de uma topologia de Hausdorff (dependendo do autor a topologia não precisa ser Hausdorff) onde as operações do espaço vetorial são contínuas. Vamos então, fazer algumas observações sobre os espaços vetoriais topológicos. Nosso objetivo final é esclarecer o papel desempenhado pelo chamado funcional de Minkowski.

Definição: Um espaço vetorial X dotado de uma topologia de Hausdorff \tau é um espaço vetorial topológico quando as operações (x,y) \mapsto x+y e (\alpha,x) \mapsto \alpha x, onde \alpha \in \mathbb{R} e x,y \in X são contínuas quando consideramos a topologia produto nos espaços \mathbb{R} \times X e X \times X.

Proposição: Seja (X, \tau) um espaço vetorial topológico. Então,
1. Para todo \alpha \neq 0, x \mapsto \alpha x é um homeomorfismo.
2. Para todo a \in X, x \mapsto x+a é um homeomorfismo.

Demonstração:
As aplicações, além de contínuas, são inversíveis e suas inversas são contínuas. (Não falei nada além da definição de homeomorfismo aqui! :-P)


O item 2 da proposição acima mostra que a topologia \tau é completamente determinada se conhecermos o sistema de vizinhanças de um ponto. Claro que na maioria das vezes, esse ponto será o 0. Ou seja, se V(0) for a família de todas as vizinhanças da origem, então x + V(0) será a família de todas as vizinhanças de x. De modo mais conciso: V(x) = x + V(0). Observe que essa afirmação não considera o produto por escalar, e portanto vale para grupos topológicos em geral.

No caso de espaços vetoriais normados, bastava conhecermos uma vizinhança limitada de um ponto x para determinarmos todas as vizinhanças de x. De fato, fica como exercício completar o argumento, mas se U é uma vizinhança limitada de x, então V = U - x é uma vizinhança limitada de 0 e \frac{1}{n}V é uma base de vizinhanças para V(0). Este não é o caso para espaços vetoriais topológicos em geral. No entanto, mostramos a seguir, uma construção parecida.

Construção: Sejam X um espaço vetorial e V \subset X que contenha a origem. Podemos construir a menor topologia em X tal que V seja vizinhança da origem e as operações do espaço vetorial sejam contínuas. De fato, basta fazer de x + \frac{1}{n}V uma base para V(x). Não fosse pela falta de garantia de que esse espaço é de Hausdorff, teríamos um espaço vetorial topológico. Essa construção é útil, pois muito do que demonstramos para espaços vetoriais topológicos não exige o axioma de separação de Hausdorff. Poderíamos também, estender esta construção para uma família V_\lambda que contenha 0.

As duas formas mais conhecidas do teorema de extensão — deve haver mais 😉 — são as chamadas forma analítica e forma geométrica. A forma analítica se utiliza do chamado funcional de Minkowski, e a geométrica de subconjuntos convexos. O funcional de Minkowski fornece um certo controle sobre a extensão que será construída. Alguns exemplos de restrições que podemos querer impor à extensão de um funcional linear f definido em um sub-espaço de X:
1. Se X é um espaço normado, podemos querer estender f a \tilde{f}, de modo que \|f\| = \|\tilde{f}\|.
2. Dados dois pontos x,y, podemos querer um funcional linear f que separe ambos. Ou seja, f(x) \neq f(y).
3. Dados dois sub-conjuntos A,B, podemos querer, se possível, um funcional linear f que separe ambos. Ou seja, tal que \sup f(A) \leq \inf f(B).
4. Se (X, \tau) é um espaço vetorial topológico, podemos querer que a extensão seja contínua.

O item 1 é o mais simples. Já temos que f satisfaz |f(x)| \leq \|f\| \|x\|. O lado direito é o caso mais simples de funcional de Minkowski.

Para o item 4, note que assim como fizemos em um post anterior, para que um funcional linear seja contínuo basta que a imagem inversa de algum conjunto limitado tenha interior.

Definição: Dado um espaço vetorial X, um funcional de Minkowski é uma aplicação m: X \rightarrow \mathbb{R} que satisfaz:
1. Para todo \alpha \geq 0, m(\alpha x) = \alpha m(x).
2. Desigualdade triangular: m(x+y) \leq m(x) + m(y).

Ao contrário de uma norma, o funcional de Minkowski pode ser negativo! Por exemplo, todo funcional linear é um funcional de Minkowski. Mas em todas as aplicações que eu já vi, o funcional de Minkowski é positivo. Em muitas ocasiões, o funcional de Minkowski será simplesmente uma semi-norma. Um exemplo de uma semi-norma: o valor absoluto de um funcional linear f. Ou seja, m(x) = |f(x)|.

Antes de falar mais sobre o funcional de Minkowski, vamos enunciar a forma analítica do teorema de extensão.

Teorema (extensão de Hanh-Banach — forma analítica): Sejam X um espaço vetorial, Y \subset X um subespaço, f: Y \rightarrow \mathbb{R} um funcional linear e m: X \rightarrow \mathbb{R} um funcional de Minkowski tais que f \leq m|_Y. Então existe um funcional linear \tilde{f}: X \rightarrow \mathbb{R} tal que \tilde{f}|_Y = f e \tilde{f} \leq m.

A demonstração usa o lema de Zorn associado ao fato de que se x \not \in Y podemos sempre extender f ao espaço gerado por Y e x.

É interessante notar que o teorema não faz referência direta a nenhuma topologia em X. No entanto, se m \geq 0, então o fato de f \leq m implica que f é contínuo na topologia construída, conforme mencionado anteriormente, a partir do conjunto convexo V = \{ x \in X: m(x) < 1 \}. Em particular, se (X, \tau) for um espaço vetorial topológico e V \in \tau, então f será um funcional contínuo, pois f^{-1}(-1,1) conterá V que possui interior. (veja diversas caracterizações de continuidade aqui.)

O parágrafo anterior sugere uma relação entre os funcionais de Minkowski e os conjuntos convexos abertos que contém a origem. O fato, que nos levará à versão geométrica do teorema, é que dado um conjunto convexo aberto V, vizinhança da origem de um espaço vetorial topológico (X, \tau), podemos construir um funcional de Minkowski m_V, tal que V = \{ x \in X: m_V(x) < 1 \}. Pelas observações do parágrafo anterior, qualquer funcional linear f que satisfaça f \leq m_V será contínuo com relação a \tau. Novamente, não precisamos em momento algum que a topologia seja gerada por uma norma!

Proposição: Seja (X, \tau) um espaço vetorial topológico e V \in V(0) aberto e convexo. Então, a função m_V(x) = \inf \{ s \in \mathbb{R_+}: x \in sV \} é um funcional de Minkowski. Também vale que V = \{ x \in X: m_V(x) < 1 \}.

Demonstração: Como V tem interior, sabemos que para todo x \in X, existe s tal que x \in sV. Portanto, para todo x \in X temos que m_V(x) < \infty. (Desafio: Demonstre a primeira afirmação! Lembre-se que X não é um espaço normado. Dica: A continuidade do produto por escalar implica que \frac{1}{n}x \rightarrow 0.)

Se \alpha \geq 0, então, x \in sV \Leftrightarrow \alpha x \in \alpha s V. Portanto, m_V(\alpha x) = \alpha m_V(x). (Pergunta: onde foi usado que \alpha \geq 0?)

Para a desigualdade triangular, note que se x \in sV e y \in tV, então x+y \in sV + tV. Em geral, (s+t)V \subset sV + tV. Mas pode ser que sV + tV \not \subset (s+t)V. No entanto, como V é convexo, temos que para s,t \geq 0, sV + tV = (s+t)\left(\frac{s}{s+t}V + \frac{t}{s+t}V\right) = (s+t)V.

A última afirmação é imediata. Note que precisamos que V seja aberto apenas para essa última afirmação. Para que m_V seja um funcional de Minkowski, bastava que V \in V(0). Neste caso, teríamos V \subset \{ x \in X: m_V(x) \leq 1 \}.


Se aplicarmos a forma analítica do teorema da extensão para um espaço vetorial topológico X, utilizando como funcional de Minkowski m_V para alguma vizinhança convexa da origem (se é que existe uma), teremos que o funcional linear resultante \tilde{f} será contínuo, haja visto que f \leq m_V implica que V \subset \tilde{f}^{-1}[-1,1]. Ou seja, \tilde{f}^{-1}[-1,1] é vizinhança da origem. Novamente, enfatizamos, que a topologia em X pode não ser dada por uma norma. Basta que X seja um espaço vetorial topológico. (Nem mesmo precisa ser Hausdorff.)

Teorema (extensão de Hanh-Banach — forma geométrica): Sejam X um espaço vetorial topológico e A,B \subset X convexos e disjuntos, com A aberto. Então existe um número real \gamma e um funcional linear f: X \rightarrow \mathbb{R} tais que f(x) < \gamma \leq f(y) para todo x \in A e y \in B.

Demonstração:
Tome a \in A e b \in B e faça z = b-a.

Afirmação 1: O conjunto V = A - B + z é uma vizinhança convexa e aberta da origem.

Soma de convexos dá um conjunto convexo. Produto por escalar e translação de convexos também dá um conjunto convexo. Como -z = a-b \in A-B, temos que 0 = -z + z \in V. Para ver que V é aberto, basta notar que é uma união de abertos: V = \bigcup_{y \in B}(A - y + z).

Agora, pela afirmação 1, podemos considerar o funcional de Minkowski m_V.

Afirmação 2: m_V(z) \geq 1.

Basta notar que como A \cap B = \emptyset, então 0 \not \in A-B. Portanto, z \not \in A-B+z = V. No entanto, sabemos que m_V(x) < 1 \Leftrightarrow x \in V.

Defina então, f(\alpha z) = \alpha.

Afirmação 3: f \leq m_V.

De fato, pela afirmação 2, para \alpha \geq 0, f(\alpha z) = \alpha \leq m_V(\alpha z); e para \alpha < 0, f(\alpha z) = \alpha < 0 \leq m_V.

Então, pela versão analítica do teorema de extensão, existe \tilde{f}: X \rightarrow \mathbb{R} tal que \tilde{f}(z) = 1 e \tilde{f} \leq m_V. Resta agora mostrar que somos sortudos o suficiente para que \tilde{f} seja exatamente o funcional que estamos procurando.

Afirmação 4: \sup \tilde{f}(A) \leq \inf \tilde{f}(B).

Note que para x \in A e y \in B, como x-y+z \in V, temos que \tilde{f}(x-y+z) \leq m_V(x-y+z) < 1. Assim, \tilde{f}(x) - \tilde{f}(y) + 1 < 1. Ou seja, \tilde{f}(x) < \tilde{f}(y).

Faça então \gamma = \sup \tilde{f}(A). Resta então mostrar que para nenhum x \in A podemos ter \tilde{f}(x) = \gamma.

Afirmação 5: O conjunto \tilde{f}(A) não possui máximo.

Seja x \in A. Pela continuidade do produto por escalar e da soma, como A é aberto, existe \varepsilon > 0 tal que x + \varepsilon z \in A. Assim, \tilde{f}(x + \varepsilon z) = \tilde{f}(x) + \varepsilon \in \tilde{f}(A). Ou seja, x não é ponto de máximo.


Uma coisa que fica faltando, é mostrar a importância de se considerar espaços vetoriais topológicos de um modo geral, ao invés de considerar somente os espaços normados. Os espaços vetoriais normados podem ser dotados de outras topologias, como a topologia fraca induzida pelo espaço dual; ou, também, no caso do dual, a topologia fraca-*, induzida pela identificação natural do espaço normado como um subespaço do seu bi-dual. Em particular, o dual de um espaço normado possui ao menos três topologias importantes (que podem coincidir): a topologia da norma de operadores, a topologia induzida pelo bi-dual (topologia fraca) e a topologia fraca-*.

Por exemplo, seja X um espaço normado. Pela forma geométrica do teorema de extensão, é evidente que dados dois conjuntos convexos A,B \subset X^* disjuntos, onde A é aberto, podem ser separados por um elemento do espaço bi-dual. No entanto, é verdade que podem ser separados por um elemento x \in X? A resposta é afirmativa no caso de A ser aberto na topologia fraco-*.

Proposição: Seja X um espaço normado e A,B \subset X^* dois subconjuntos do espaço dual. Se A é fraco-* aberto, então existem \gamma \in \mathbb{R} e x \in X tais que para todo \phi \in A e todo \psi \in B, \phi(x) < \gamma \leq \psi(x).

Demonstração:
Sabemos que existem \gamma \in \mathbb{R} e um elemento J \in X^{**} que é contínuo na topologia fraco-* e que para todo \phi \in A e todo \psi \in B, satisfaz J(\phi) < \gamma \leq J(\psi).

Não é difícil mostrar, mas não faremos aqui porque o negócio já tá muito longo, que todo elemento J \in X^{**} que é fraco-* contínuo, é da forma J_x: \phi \mapsto \phi(x), o que concluí a demonstração.


Observação:
Onde eu vi, m_V era definido como ínfimo dentre os s \in \mathbb{R_+} tais que s^{-1}x \in V. Eu achei que fazer x \in sV é bem mais visual por causa da imagem do conjunto V crescendo (ou encolhendo) para conter (e ainda assim, contendo) x.

Fonte: Analysis Now de Gert K. Pedersen.


Teorema do Gráfico Fechado e Teorema da Aplicação Aberta

janeiro 18, 2010

O gráfico de uma aplicação contínua com contra-domínio de Hausdorff é fechado. A recíproca, em geral, não é válida. Vamos mostrar que no entanto, se estivermos falando sobre uma aplicação linear T: X \rightarrow Y entre espaços de Banach, então se o gráfico de T em X \times Y (com a topologia produto) for fechado, a aplicação será contínua. Alternativamente, se T não for contínua, seu gráfico não será fechado.

Observação: Se T não é contínua, então poderemos exibir uma sequência x_n \rightarrow x tal que Tx_n \not \rightarrow Tx. A parte difícil do teorema do gráfico fechado é encontrar uma sequência x_n convergente, tal que Tx_n também seja convergente, mas que T(\lim x_n) \neq \lim Tx_n. Para isso, vamos precisar do teorema de Baire e da completude de X e Y. As caracterizações de aplicações lineares contínuas ou abertas que foram apresentadas anteriormente simplificam um pouco a demonstração.

Definição: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação entre os conjuntos X e Y. O gráfico de T é o conjunto G(T) = \{ (x, Tx) \in X \times Y: x \in X \}. Se X e Y são espaços topológicos, dizemos que o gráfico de T for fechado quando o conjunto G(T) for um subconjunto fechado de X \times Y equipado com a topologia produto.

Teorema do Gráfico Fechado: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear entre espaços de Banach. Então, o gráfico de T é fechado se, e somente se, T for uma aplicação contínua.

Demonstração:
Se T é contínua e (x, y) um ponto de acumulação de seu gráfico, então existe uma sequência (x_n, Tx_n) \rightarrow (x, y). Assim, x_n \rightarrow x e Tx_n \rightarrow y. Pela continuidade de T, temos também que Tx_n \rightarrow Tx. O fato de o contra-domínio Y ser espaço de Hausdorff implica que o limite de Tx_n é único e portanto, Tx = y. Ou seja, (x, y) pertence ao gráfico de T, que é portanto, fechado.

Vamos supor agora que T não seja contínua. Nossa estratégia será exibir uma sequência x_n \rightarrow x tal que Tx_n \not \rightarrow Tx, mas que no entanto, Tx_n seja convergente (ou seja, de Cauchy). Para construir T_x de Cauchy, vamos escrever x_n como uma série x_n = \sum_{j=0}^n y_n tal que:
1. Para n > 0, \|Ty_n\| < \frac{1}{2^n}.
2. \|Ty_0\| < 1.
Em particular, teremos que \limsup Tx_n < 2. Assim, para que Tx_n \not \rightarrow Tx, tomaremos x tal que \| Tx \| \geq 2.

Vamos denotar por B_\varepsilon a bola aberta de raio \varepsilon > 0 tanto em X quanto em Y. Pela caracterização de aplicações lineares contínuas, T^{-1}B_\varepsilon não possui interior para nenhum \varepsilon > 0. Mas pelo teorema de Baire, \overline{T^{-1}B_\varepsilon} tem interior para algum (e por linearidade, para todo) \varepsilon > 0.

Afirmação 1: Existe um \beta > 0, tal que para todo \varepsilon > 0, B_{\beta \varepsilon} \subset \overline{T^{-1}B_\varepsilon}.

Basta mostrar para \varepsilon = 2, pois os demais casos seguem por linearidade de T. Seja v ponto interior de \overline{T^{-1}B_1}. Sabemos que \overline{T^{-1}B_2} = \overline{T^{-1}B_1 - T^{-1}B_1} = \overline{T^{-1}B_1} - \overline{T^{-1}B_1}. Portanto, \overline{T^{-1}B_2} é vizinhança de v - v = 0. Ou seja, existe \beta > 0 tal que B_{2 \beta} \subset \overline{T^{-1}B_2}.

Tome x \in \overline{T^{-1}B_\frac{1}{2}} \setminus T^{-1}B_2. Note que x existe, pois o conjunto da esquerda tem interior e o da direita, não. Note também que \|Tx\| \geq 2. Vamos construir a sequência y_n.

Escolha y_0 \in x + B_\beta. Por simetria, x - y_1 \in B_\frac{\beta}{2}. Escolhido y_n \in B_\frac{\beta}{2^n} tal que x - \sum_{j=0}^n y_j \in B_\frac{\beta}{2^n}, escolha y_{n+1} \in B_\frac{\beta}{2^n} tal que x - \sum_{j=0}^{n+1} y_j \in B_\frac{\beta}{2^{n+1}}. Para ver que isso é possível, basta notar que (x + B_\frac{\beta}{2^{n+1}}) \cap (\sum_{j=0}^{n} y_j + B_\frac{\beta}{2^n}) é não vazio (faça um desenho). É evidente que:
1. x_n = \sum_{j=0}^n y_j \rightarrow x.
2. Pela afirmação 1, Ty_n \in B_\frac{1}{2^n}. Ou seja, Tx_n = \sum_{j=0}^n Ty_n é de Cauchy.
3. \|\lim T x_n\| = \lim \|\sum_{j=0}^n Ty_n\| \leq \\ \leq \sum_{j=0}^\infty \|Ty_n\| < \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{2^n} \leq 2.

Portanto, (x, \sum Ty_n) = \lim (x_n, Tx_n) é ponto de acumulação do gráfico de T, mas não pertence ao gráfico, pois \|\lim T x_n\| < 2 \leq \|T x\|. Concluindo a demonstração.


A partir do teorema do gráfico fechado, podemos demonstrar o seguinte teorema, chamado de teorema da aplicação aberta.

Teorema da Aplicação Aberta: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear sobrejetiva entre espaços de Banach. Então, T é contínua se, e somente se, é uma aplicação aberta.

Demonstração:
Vamos primeiro assumir que T é bijetiva. Neste caso, T^{-1}: Y \rightarrow X é uma aplicação linear cujo gráfico, que é a transposição do gráfico de T, é fechado! Portanto, T^{-1} é contínua. Ou seja, T é aberta.

O caso geral é feito considerando-se o espaço quociente \tilde{X} = X / \ker T. Não vou detalhar a construção, mas este espaço quociente é um espaço de Banach com norma \|x + \ker T\| = \inf_{n \in \ker T} \|x + n\|, pois, pela continuidade de T, \ker T é fechado. Esta construção pode ser vista no livro Analysis Now de Gert K. Pedersen.

É um fato simples de álgebra, que T pode ser fatorado em T = \tilde{T} \circ \pi, onde \pi: X \rightarrow \tilde{X} é a projeção natural (que é aberta, como toda projeção de quocientes de grupos topológicos) e \tilde{T}: \tilde{X} \rightarrow Y é contínua e bijetiva. Pela primeira parte da demonstração, \tilde{T} é uma aplicação aberta e portanto, T, como uma composição de aplicações abertas, é também aberta.

Observação: De fato, mostramos que o teorema da aplicação aberta é consequencia do seguinte teorema:
Teorema da Inversa Limitada: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear bijetiva entre espaços de Banach. Se T é contínua, então é um homeomorfismo.

Como este teorema é um caso particular do teorema da aplicação aberta, temos que os dois são equivalentes. A demonstração acima mostra essa equivalência (a parte não trivial) e o fato de que o teorema da inversa limitada é consequência imediata do teorema do gráfico fechado.

Observação: Parece ser mais comum que se demonstre o teorema da aplicação aberta como consequência do teorema de Baire e o teorema do gráfico fechado como consequência do da aplicação aberta. Escolhi um caminho alternativo e provavelmente mais complicado só pra exercitar. 🙂


O Teorema de Baire

janeiro 13, 2010

No post Aplicações Lineares em Espaços Normados, podemos perceber que para resolver questões como a “limitação uniforme” de uma família de aplicações lineares, ou para saber se determinada aplicação linear é aberta, é importante saber se determinados conjuntos possuem interior. Um resultado que garante que certos conjuntos possuem interior é o Teorema de Baire.

Em analogia com os espaços de medida, se a união enumerável de uma família de conjuntos mensuráveis tiver medida estritamente positiva, então ao menos um elemento dessa família também tem medida não nula. A união enumerável de uma família de conjuntos de medida nula é necessariamente um conjunto de medida nula. No Teorema de Baire, o análogo aos conjuntos de medida nula, são os conjuntos fechados com interior vazio. (ou então conjuntos cujo fecho tem interior vazio). Mostraremos que em espaços métricos completos, a união enumerável de fechados com o interior vazio também tem interior vazio. Espaços que possuem essa propriedade são chamados Espaços de Baire.

Definição: Um espaço topológico onde a união enumerável de fechados com interior vazio também tem necessariamente interior vazio é chamado de Espaço de Baire.

Exemplo: Em \mathbb{R}^3, por exemplo, nenhuma bola pode ser escrita como uma união enumerável de fechados com interior vazio. Em particular, nenhuma bola é uma união enumerável de esferas. As esferas são conjuntos que não possuem volume, enquanto que a bola possui.

Contra-exemplo: Os números reais são a união dos racionais e os irracionais. Ambos tem interior vazio. No entanto, nenhum dos dois é fechado.

Lema: São equivalentes as afirmações a respeito de um espaço topológico X:
1. A união enumerável de fechados com interior vazio tem interior vazio. (ou seja, X é Espaço de Baire)
2. A união enumerável de conjuntos cujo fecho tem interior vazio é um conjunto com interior vazio.
3. A interseção enumerável de abertos densos é densa.

Demonstração: A parte mais difícil é o item 3. Basta notar que um conjunto é fechado com interior vazio exatamente quando seu complemento é aberto denso.


Teorema de Baire: Um espaço métrico completo X é um espaço de Baire. Em particular, um espaço de Banach é um espaço de Baire.

Demonstração:
Deu uma preguiça enorme!!! Mas na Wikipedia tem. 🙂


Princípio da Limitação Uniforme: Sejam X um espaço de Banach e Y um espaço normado. E seja T_\lambda: X \rightarrow Y uma família de aplicações lineares contínuas tais que para todo x \in X existe M_x \in \mathbb{R} tal que T_\lambda x \leq M_x para todo \lambda. Então a família T_\lambda é uniformemente limitada.

Demonstração:
Por hipótese,
X = \bigcup_{N \in \mathbb{N}} \bigcap_\lambda T_\lambda^{-1}(\overline{B_N}).
Pelo teorema de Baire, existe N \in \mathbb{N} tal que \bigcap_\lambda T_\lambda^{-1}(\overline{B_N}) tem interior.

Pelo post Aplicações Lineares em Espaços Normados, proposição 3, item 8, segue que a família T_\lambda é uniformemente limitada.

Corolário: Se X é um espaço de Banach e Y um espaço normado. E se T_n: X \rightarrow Y uma família de aplicações lineares contínuas tais que T_n converge pontualmente para uma aplicação T: X \rightarrow Y, então T é uma aplicação linear contínua.

Demonstração: É fácil ver que T é linear. Para ver que T é limitada, basta notar que \|T\| \leq \sup \|T_n\|. Mas este supremo é finito pelo princípio da limitação uniforme acima, pois a convergência pontual implica que T_n x é limitada para todo x \in X.



Aplicações Lineares em Espaços Normados

janeiro 11, 2010

O objetivo deste artigo é discutir as várias interpretações que caracterizam a condição de uma aplicação linear ser limitada (definição a seguir). Devido ao fato de a métrica induzida por uma norma qualquer ser invariante por translações, temos a continuidade de uma aplicação linear ser equivalente à continuidade em um ponto qualquer. Em geral, tomamos a origem. 😉

Já a propriedade \|\alpha x\| = |\alpha| \|x\| implica na equivalência entre a continuidade na origem e a limitação da aplicação linear. A equivalência entre continuidade, continuidade em um ponto e limitação de uma aplicação linear é bastante conhecida.

Definição: uma aplicação linear T: X \rightarrow Y entre espaços normados é limitada quando T(B_1) for um conjunto limitado em Y. Onde B_\alpha é a bola de raio \alpha. Usamos a mesma notação para bolas em X ou Y.

Proposição 1: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear entre espaços normados. São equivalentes:
1. T é contínua.
2. T é contínua em um ponto.
3. T é contínua na origem.

4. T é limitada.
5. A imagem de toda bola é limitada.
6. A imagem de alguma bola é limitada.
7. A imagem de alguma vizinhança da origem é limitada.
8. A imagem de todo conjunto limitado é limitada.

9. A imagem de algum aberto é limitada.

10. A imagem inversa por T de algum conjunto limitado tem interior.
11. O conjunto T^{-1}(B_\alpha) tem interior para algum \alpha > 0.
12. O conjunto T^{-1}(B_\alpha) tem interior para todo \alpha > 0.
13. O conjunto T^{-1}(B_1) tem interior.

Demonstração:
A equivalência entre os quatro primeiros itens já foi comentada nos primeiros parágrafos.

A equivalência entre 4, 5, 6, 7 e 8 segue do fato T(B_\alpha) = \alpha T(B_1)

É fácil ver que 4 implica em 9, basta tomar a imagem de B_1. Por outro lado, se V \subset X é aberto com imagem limitada, então V - V é vizinhança da origem com imagem limitada. Ou seja, 9 implica em 7.

É trivial que 1 implica em 10, e que 10 implica em 11.
Também é fácil ver que 11, 12 e 13 são equivalentes, pois B_\alpha = \alpha B_1.

Para ver que 13 implica em 9, basta tomar A como sendo o interior (não vazio) de T^{-1}(B_1). Então, a imagem do aberto A é limitada!


A essas alturas, quem não se cansou e desistiu de ler todas as equivalências acima está provavelmente criando suas próprias variações. 🙂

Algo que não é exatamente uma variação, mas que funciona da mesma forma, é a caracterização de aplicações abertas. As aplicações lineares abertas são necessariamente sobrejetivas. Assim como na proposição anterior, temos a equivalência:

Proposição 2: Seja T: X \rightarrow Y uma aplicação linear sobrejetiva entre espaços normados. São equivalentes:
1. T é aberta.
2. T é aberta em um ponto. (a imagem de toda vizinhança do ponto é vizinhança da imagem do ponto)
3. T é aberta na origem. (a imagem de toda vizinhança de 0 é vizinhança de 0)

5. A imagem inversa de toda bola é limitada.
6. A imagem inversa de alguma bola é limitada.
7. A imagem inversa de alguma vizinhança da origem é limitada.
8. A imagem inversa de todo conjunto limitada é limitada.

9. A imagem inversa de algum aberto é limitada.

10. A imagem de algum conjunto limitado tem interior.
11. O conjunto T(B_\alpha) tem interior para algum \alpha > 0.
12. O conjunto T(B_\alpha) tem interior para todo \alpha > 0.
13. O conjunto T(B_1) tem interior.


Podemos ir um pouco mais fundo e pensar sobre uma família de aplicações lineares que sejam uniformemente limitadas.

Definição: dada uma aplicação linear T: X \rightarrow Y entre espaços normados limitada, definimos a norma de T, por \|T\| = \sup_{x \in B_1} \|T(x)\|.

Definição: dizemos que uma família T_\lambda: X \rightarrow Y de aplicações lineares é uniformemente limitada se é tal que \sup_\lambda \|T_\lambda\| < M para algum M.

Vejamos algumas caracterizações de limitação uniforme.
Proposição 3: Seja T_\lambda: X \rightarrow Y uma família de aplicações lineares entre espaços normados. São equivalentes:
1. T_\lambda é uniformemente limitada.
2. \bigcap T_\lambda^{-1}(B_1) é vizinhança da origem.
3. Para algum \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_\alpha) é vizinhança da origem.

4. Para algum \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_\alpha) tem interior.
5. Para todo \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_\alpha) tem interior.
6. O conjunto \bigcap T_\lambda^{-1}(B_1) tem interior.

7. Para algum conjunto limitado B, \bigcap T_\lambda^{-1}(B) tem interior.
8. Para algum \alpha > 0, \bigcap T_\lambda^{-1}(\overline{B_\alpha}) tem interior.

Demonstração:
A equivalência entre 1, 2 e 3 é exatamente como nas proposições anteriores. A equivalência entre 4, 5, 6, 7 e 8 também é imediata. E é óbvio que 2 implica em 6.

Suponha 6. Então, \bigcap T_\lambda^{-1}(B_2) = \bigcap T_\lambda^{-1}(B_1 - B_1) = \bigcap (T_\lambda^{-1}(B_1) - T_\lambda^{-1}(B_1)) é vizinhança da origem. Ou seja, 6 implica em 3.


As caracterizações apresentadas acima são utilizadas em teoremas como o teorema da aplicação aberta e o princípio da limitação uniforme, mas em geral ficam ocultas dentro da demonstração.


Complemento Ortogonal

dezembro 15, 2009

Seja (H, \langle \cdot,\cdot \rangle) um espaço de Hilbert e M \subset H um subespaço fechado. Vou mostrar neste post que H = M \oplus M^\bot, onde M^\bot é o conjunto (subespaço fechado) dos vetores ortogonais a M. As funções norma \lVert \cdot \rVert e distância d(\cdot,\cdot) são definidas da maneira usual.

Nesta demonstração, tentei evitar tudo o que tenho aversão. Uma dessas coisas é a lei do paralelogramo. A demonstração ficou mais longa, mas se o leitor fizer alguns desenhos (principalmente no final do teorema), verá que é bem geométrica. O lema utilizado para subsituir a lei do paralelogramo é o seguinte.

Lema 1: Dado a \in H, se d(a,x_1) = d(a,x_2), com x_1 \neq x_2. Faça v = \frac{x_1-x_2}{\lVert x_1-x_2 \rVert}.
Então x = \frac{x_1+x_2}{2} é o ponto da reta r(\lambda) = x_1 + \lambda v que tem a menor distância de a. Também vale que \langle a-x,v \rangle = 0, ou seja, a-x é ortogonal à reta r(\lambda).

Demonstração:
Primeiramente, faça um desenho. 🙂

Basta notar que
d(x + \lambda v, a)^2 = d(\lambda v, a - x)^2 = \lambda^2 + 2 \lambda \langle v, a-x \rangle + \lVert a-x \rVert^2
é uma parábola simétrica em relação ao eixo das abcissas. Portanto, o (único) ponto de mínimo é em \lambda = 0.

Seja agora, \alpha = \langle a-x,v \rangle. Então, \langle a-x-\alpha v, v \rangle = 0. Portanto,
\lVert a - x \rVert^2 = \lVert a - x - \alpha v \rVert^2 + \lVert \alpha v \rVert^2 = \lVert a - x - \alpha v \rVert^2 + \alpha^2. Pela minimalidade de \lVert a - x \rVert, temos que \alpha = 0.


Lema 2: Dado a \in H, então m \in M é tal que a - m \in M^\bot se, e somente se, d(a,m) = d(a,M). Onde d(a, M) = \inf_{x \in M} \lVert a -x \rVert.

Demonstração

Suponha que a - m \in M^\bot. Tome x \in M. Basta então notar que
d(a,x)^2 = \lVert a - m + (m-x) \rVert^2 = \lVert a-m \rVert^2 + \lVert m-x \rVert^2 \geq \\ \geq \lVert a-m \rVert^2 = d(a,m)^2.

Por outro lado, se a - m \not \in M^\bot, então existe z \in M, de norma 1, tal que \langle z, a-m \rangle = \alpha > 0. Fazendo x = m + \alpha z, temos que a-x \in \{z\}^\bot e, portanto,
\lVert a-m \rVert^2 = \lVert a-x + \alpha z \rVert^2 = \lVert a-x \rVert^2 + \alpha^2 > \lVert a-x \rVert^2.
Assim, d(a,m) não é mínimo.


Teorema: Todo a \in H pode ser decomposto em a = m_a + a_\bot, onde m_a \in M e a_\bot \in M^\bot. Esta decomposição é única. Ou seja, H = M \oplus M^\bot.

Demonstração:
A unicidade segue diretamente de H \cap H^\bot = \{0\}.

Pelo lema 2, basta mostrar que existe m_a \in M tal que d(a,m_a) = d(a,M). Tome m_n \in M com d(a,m_n) \downarrow d(a,M). Vamos mostrar que m_n é uma sequência de Cauchy.

Suponha que não. Então, existe \varepsilon > 0 tal que para todo N podemos escolher j > k > N tais que d(m_j,m_k) > \varepsilon. Como d_j < d_k, pelo teorema do valor intermediário, “saindo” de m_j, e “indo na direção oposta” a m_k, existe um ponto m_k' (diferente de m_k) tal que d(a,m_k') = d_k. Note que d(m_k,m_k') \geq d(m_k,m_j) > \varepsilon. Faça um desenho… 😉

Pelo lema 1, m = \frac{m_k-m_k'}{2} é tal que a-m é ortogonal á reta r(\lambda) = m_k + \lambda (m_k-m_k'). Pelo desenho que você fez,
d(a, m_k)^2 = d(a,m)^2 + d(m,m_k)^2 \geq \\ \geq d(a,m)^2 + \left( \frac{\varepsilon}{2} \right)^2 \geq d(a,M)^2 + \left( \frac{\varepsilon}{2} \right)^2.
Tomando o limite quando N \rightarrow \infty, temos a seguinte contradição:
d(a,M)^2 \geq d(a,M)^2 + \frac{\varepsilon^2}{4}.

Portanto, m_n é de Cauchy, e existe m_a com m_n \rightarrow m_a. Pela continuidade de d(\cdot,\cdot), temos que d(a,m_a) = d(a,M), concluindo a demonstração.