Normas Equivalentes

março 23, 2010

Novamente, um post sobre um teorema já exposto. No entanto, vou expor aqui uma forma interessante de se provar a equivalência das normas em um espaço vetorial de dimensão fiinita.

Duas normas num espaço vetorial E são chamadas de equivalentes quando as métricas provenientes dessas normas são equivalentes.

Teorema 1: Sejam E,F espaços vetoriais normados. As seguintes afirmações a respeito de uma aplicação linear T:E\to  F são equivalentes:

1) T é uniformemente contínua;

2) T é contínua;

3) T é contínua no ponto 0\in E ;

4) T é Lipschitz.


Demonstração: Com efeito, tem-se que as implicações (1)\Longrightarrow (2) , (2)\Longrightarrow (3) e (4)\Longrightarrow (1) são óbvias.  Provemos a implicação (3)\Longrightarrow (4) .

Com efeito, tem-se, pela hipótese, que existe  \delta >0 tal que

\left| v \right| \leq \delta \Longrightarrow \left\| T(v)  \right\| <1 .

Dado u\in\left\{ x\in E : \left| x\right| = 1 \right\} , tem-se que \left| \delta u \right| = \delta e, então,

\delta \left\| T(u)\right\| = \left\| T( \delta u) \right\|  < 1 , donde segue que

\left\| T(u)\right\| <\frac{ 1 }{ \delta } . Isso provou que \left\{ \left\| Tx\right\| \in F:\left| x\right| =1\right\} é limitado. Denotamos L=sup\left\{ \left\| Tx\right\| \in  F:\left| x\right| =1\right\} .

Dados x,y\in E , segue que \displaystyle \left\| T  \left( \frac{x-y}{ \left| x-y\right| } \right) \right\|\leq L e, portanto,

\displaystyle \frac{1}{ \left| x-y\right| } \left\| T\left(  x-y\right) \right\| \leq L , ou seja, \left\| Tx - Ty\right\|  \leq L\left| x-y\right| .


Corolário 1.1: Sejam \left\| \cdot \right\| _1 e \left\| \cdot \right\| _2 duas normas num espaço vetorial E . Se tais normas são equivalentes, segue que as métricas provenientes dessas normas são uniformemente equivalentes. E, mais precisamente, existem \alpha, \beta > 0 tais que

\alpha \left\| u \right\| _1 \leq \left\| u \right\| _2  \leq \beta \left\| u \right\| _1 para todo u\in E .


Demonstração: Com efeito, se tais normas são equivalentes, segue que

id: (E, \left\| \cdot \right\| _1 ) \to (E, \left\| \cdot  \right\| _2 ) é um homeomorfismo. Pelo teorema precedente, id e sua inversa são lipschitzianas (em particular, id é um homeomorfismo uniforme). Isso implica que existem \alpha , \beta  > 0 tais que

\alpha \left\| x-y \right\| _1 \leq \left\| x-y \right\| _2  \leq  \beta \left\| x-y \right\| _1 para quaisquer x,y\in E .

Em particular,

\alpha \left\| x \right\| _1 \leq \left\| x \right\| _2 \leq    \beta \left\| x \right\| _1 para qualquer x\in E (bastava tomar y=0 ).



Corolário 1.3: Seja E um espaço vetorial normado. Ao trocar a norma de E por uma equivalente, seqüências convergentes são transformadas em seqüências convergentes, e seqüências de Cauchy são transformadas em seqüências de Cauchy. Em particular, se E é completo em relação a uma norma, ele será completo em relação a qualquer norma equivalente.


Demonstração: É consequência imediata do fato de métricas provenientes de normas equivalentes serem uniformemente equivalentes.



Teorema 2: Sejam E um espaço vetorial normado e \mathbb{R}^n munido da norma do máximo (ou uma equivalente). Toda aplicação linear T: \mathbb{R} ^n \to E é contínua.


Demonstração: Com efeito, tem-se que, dado u\in\mathbb{R}^n ,

\displaystyle \left\| T(u)\right\|\leq \sum_{i=1}^n   \left|u_i\right| \left\| T(e_i)\right\|\leq \left| u \right|   \sum_{i=1}^n \left\| T(e_i)\right\| ,

onde \left\{ e_1, \ldots , e_n \right\} \subset \mathbb{R}^n é a base canônica, e onde \left| u \right| é a norma (do máximo) de u em \mathbb{R}^n . Fazendo \displaystyle L= \sum_{i=1}^n \left\| T(e_i) \right\| , segue que

\displaystyle \left\| T(u)\right\|\leq L\left| u \right| .

Isso provou que \displaystyle \left\| T(v)\right\|\leq L\left|   v \right| para todo v\in\mathbb{R}^n . Portanto, isso completa a prova de que T é contínua, afinal, dados x,y\in\mathbb{R}^n , tem-se, pelo provado que

\displaystyle \left\| Tx-Ty\right\| =\left\|   T(x-y)\right\|\leq L\left| x-y \right| .



Teorema 3: Quando \mathbb{R}^n está munido de alguma norma equivalente à norma do máximo, K\subset\mathbb{R}^n é compacto se, e somente se, é limitado e fechado em \mathbb{R} ^n .


Demonstração: Se K\subset \mathbb{R}^n é fechado e limitado, dada uma seqüência em K , segue, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass (provado no outro post), que existe uma subseqüência convergente em \mathbb{R}^n . Como K é fechado, segue que essa subseqüência converge em K . Isso completou a prova de que K é compacto.

Reciprocamente, se K é compacto, segue que K é totalmente limitado (em particular, limitado) e fechado.



Leminha: Se \mathbb{R}^m está munido de uma norma equivalente à norma do máximo, segue que

\left\{ x:\left| x\right| =1 \right\} = S^{m-1}\subset\mathbb{R}^m é compacto.


Demonstração: Com efeito, basta provar que S^{m-1} é fechado (afinal, S^{m-1} é obviamente limitado). Note que, dado uma seqüência convergente x_n\to L tem-se que \left| x_n\right| \to \left| L\right| . Logo se (u_n) é uma seqüência convergente de vetores em S^{m-1} , como \left| u_n\right|\to 1 , segue que a norma do limite é 1 . E, portanto, o limite está em S^{m-1} .


Teorema 4: Seja E um espaço vetorial normado de dimensão finita m . Segue que existe um homeomorfismo linear H: \mathbb{R}^m\to E .


Demonstração: Com efeito, dada uma base \left\{u_1, \ldots ,u_m\right\} , define-se H: \mathbb{R} ^m \to E , \displaystyle H(x) = \sum_{i=1}^n x_i u_i .

H é linear. Portanto, pelo teorema 2, é contínua. Além disso, H é obviamente bijetiva. Como S^{m-1}\subset\mathbb{R}^m é compacto, segue que

f: S^{m-1}\to\mathbb{R} , f(u)=\left\| H(u)\right\| ,

assume máximo e mínimo (por ser contínua). Como H é bijetiva (em particular, injetiva), segue que H(x)\neq 0 para todo x\in S^{m-1} . Portanto, o mínimo de f é um número r> 0 .

Tem-se, então, que, dado y\in\mathbb{R}^m ,

\displaystyle \left\| H\left( \frac{y}{ \left| y\right| }\right) \right\| = \frac{1}{\left| y \right| } \left\| H(y)\right\| \geq r . Disso segue que

\left\| H(y)\right\| \geq r \left| y \right| .

Isso provou a continuidade da inversa.



Corolário 4.1: Sejam E e F espaços vetoriais normados de dimensão finita. Toda aplicação linear T: E\to F é contínua.


Demonstração: Com efeito, pelo teorema 4, existe um homeomorfismo linear H:\mathbb{R}^m\to E (onde m é a dimensão de E ).

Tem-se que (T\circ H) : \mathbb{R}^m\to F é uma aplicação linear. Logo, pelo teorema 2, é contínua. Como H é um homemorfismo, segue que

T= (T\circ H)\circ H^{-1} é composição de aplicações contínuas e, portanto, contínua.



Corolário 4.2: Todas normas em espaço vetorial de dimensão finita são equivalentes.


Demonstração: Com efeito, seja E um espaço vetorial de dimensão finita. Dadas duas normas \left\| \cdot \right\| _1 , \left\| \cdot \right\| _2 em E , segue que

id: (E, \left\| \cdot \right\| _1 ) \to (E, \left\| \cdot \right\| _2 )

e sua inversa são aplicações lineares. Portanto, pelo corolário acima, elas são contínuas e, então, as normas são equivalentes.



Observação: Da equivalência das normas em espaços vetoriais de dimensão finita, segue que, para qualquer espaço vetorial normado E de dimensão finita, valem:

1) K\subset E é compacto se, e somente se, K é limitado e fechado em E .

2) Vale o teorema de Bolzano-Weierstrass em E . Ou seja, toda seqüência limitada em E possui subseqüência convergente em E .

Teorema 5: Todo espaço vetorial normado de dimensão finita é completo.


Demonstração: Seja E um espaço vetorial normado de dimensão finita. Segue, pelo provado, que toda seqüência limitada possui subseqüência convergente. Logo, dada uma seqüência de Cauchy (u_n) em E , segue que ela é limitada. Portanto ela possui subseqüência convergente. Mas é fácil de verificar que, se uma seqüência de Cauchy possui uma subseqüência convergente, ela converge: portanto (u_n) converge.



Bolzano-Weierstrass em R^n

março 21, 2010

Bom, eu acho que já fiz um post sobre isso. No entanto, acho que encontrei uma forma mais elegante de expor.

Será usado uma coisa fácil de provar: a topologia de \mathbb{R} ^n munido da norma do máximo é a topologia produto (a norma do máximo induz a topologia produto).

Duas normas num espaço vetorial são chamadas equivalentes, quando as métricas provenientes dessas métricas são equivalentes. Isso implica, por exemplo, que se uma seqüência num espaço vetorial é convergente numa norma específica, então ela é convergente em qualquer norma equivalente a essa norma.

Teorema (Bolzano-Weierstrass): Toda seqüência limitada de vetores em R^n (munido da norma do máximo (ou de qualquer uma equivalente)) possui uma subseqüência convergente.

Demonstração: Com efeito, faz indução sobre n . O teorema de Bolzano-Weierstrass vale para \mathbb{R} (munido da norma do máximo). Supõe-se que o teorema é verdadeiro para n-1 , ou seja, toda seqüência limitada em \mathbb{R}^{n-1} munido da norma do máximo, possui uma subseqüência convergente. Logo, dada uma seqüência limitada (u_m) em \mathbb{R} ^n (munido da norma do máximo), note que (v_m) é limitada em \mathbb{R}^{n-1} , onde, para cada m\in\mathbb{N} , v_m = (u_{m_1}, \ldots , u_{m_{n-1}} )

(as primeiras n-1 coordenadas de u_m ).

Como \max _{i=1}^n \left| u_{m_i}\right| \geq \max _{i=1}^{n-1} \left| u_{m_i}\right| para todo m\in\mathbb{N} , segue que (v_m) é limitada. Pela hipótese, segue que existe um conjunto infinito N_1\subset\mathbb{N} de índices tal que (v_m)_{m\in N_1} converge, portanto cada coordenada converge. Analogamente, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass na reta, existe um conjunto N_2\subset N_1 infinito de índices que torna (u_{m_n})_{m\in N_2} convergente em \mathbb{R} .

Logo tem-se que  todas as coordenadas de (u_m)_{m\in N_2} convergem, ou seja, (u_m)_{m\in N_2} converge em \mathbb{R} ^n .

CQD



Ponto Fixo de Banach

fevereiro 28, 2010

Um dos meus grandes interesses é em teoremas sobre pontos fixos. Parte do interesse nisso vem da grande aplicabilidade dos resultados. Um dos teoremas mais elementares sobre ponto fixo é o teorema de Banach. Será feito uma breve exposição desse teorema e de algumas de suas importantes aplicações: como o teorema da função inversa e um teorema de existência e unicidade de soluções para sistemas de EDO’s.

Seja M um espaço métrico. Uma contração é uma aplicação f:M\to M Lipschitziana, com constante  de Lipschitz no intervalo \left[ 0,1\right) . Ou seja, existe c\in \left[ 0 ,1\right) tal que

d(f(x),f(y) )\leq c\cdot d(x,y) .

Teorema 1 (Teorema do Ponto fixo de Banach): Seja \displaystyle M um espaço métrico completo. Toda contração \displaystyle f: M\to M possui um único ponto fixo (e ele é atrator).

Demonstração: Com efeito, seja \displaystyle M completo. Se \displaystyle f: M\to M é uma contração, toma-se \displaystyle \displaystyle x\in M e define-se \displaystyle \displaystyle y_n = f^n(x) .

Tem-se que \displaystyle d(y_1 , y_2) = d(f(x),f^2(x))\leq c\cdot d(x,f(x)) , onde \displaystyle c\in \left[0,1\right) .

Prova-se, então, por indução que \displaystyle \displaystyle d(y_n,y_{n+1} ) \leq c^n\cdot d(x, f(x)) .

Supondo por indução que \displaystyle d(y_n,y_{n+1} ) \leq c^n\cdot d(x, f(x)) , segue que

\displaystyle d(y_{n+1},y_{n+2} ) \leq c\cdot d(y_n,y_{n+1} ) \leq c^{n+1}\cdot d(x, f(x)) . Isso completa a prova por indução.

Portanto, dados \displaystyle n,p\in\mathbb{N} , tem-se que

\displaystyle d(y_n , y_{n+p} )\leq \sum_{i=1}^p d(y_{n+i-1}, y_{n+i})\leq \sum_{i=1}^p c^{n+i-1}\cdot d(x,f(x) )

\leq c^n\cdot d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1}\leq c^n d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1} .

Como \displaystyle \sum c^i é monótona crescente e, por \displaystyle c\in \left[ 0, 1 \right) , também é convergente, tem-se que \displaystyle \sum_{i=1}^p c^{i-1} é menor ou igual ao seu limite \displaystyle \frac{1}{1-c} . Portanto

\displaystyle d(y_n , y_{n+p} )\leq c^n d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1} \displaystyle \leq d(x,f(x))\cdot \frac{c^n}{1-c} .

Como \displaystyle lim c^n =0 , segue que, dado \displaystyle \varepsilon > 0 , consegue-se tomar \displaystyle n_0\in\mathbb{N} tal que \displaystyle n> n_0 e \displaystyle p\in \mathbb{N}   implique

\displaystyle d(y_n , y_{n+p} )\leq c^n d(x,f(x)) \sum_{i=1}^p c^{i-1}\leq d(x,f(x))\cdot \frac{c^n}{1-c}\leq \varepsilon .

Ou seja, provamos que \displaystyle (y_n) é de Cauchy. Por \displaystyle M ser completo, isso implica que \displaystyle (y_n) converge.

Note que \displaystyle (f(y_n)) =(y_{n+1}) . Tem-se que \displaystyle lim f(y_n) = lim (y_n) .  Mas, por outro lado, por \displaystyle f ser contínua, tem-se que

\displaystyle lim f(y_n)=f(lim (y_n) ) . Portanto, pelo teorema da unicidade de limites (por M ser um espaço métrico), segue que  \displaystyle lim (y_n) = f(y_n)=f(lim (y_n) ) , id est, \displaystyle lim (y_n) é ponto fixo.

Isso provou a existência. Resta provar a unicidade. Basta ver que, se \displaystyle z,w\in M são pontos fixos distintos, tem-se que \displaystyle d(f(z),f(w))\leq c d(z,w) , ou seja, em particular, por \displaystyle c\in \left[0,1\right) ,

\displaystyle d(f(z),f(w)) < d(z,w) . Absurdo. Logo deveríamos ter \displaystyle z= w .

CQD


Leminha: Seja \displaystyle f: M\to M uma contração com constante de contração c . Se

\displaystyle r\geq\frac{d(a,f(a))}{1-c} , então a bola fechada \displaystyle B_a =B\left[ a; r\right] é invariante por f . Em particular, se M é completo, o ponto fixo de f está em B_a .

Demonstração: Com efeito, se \displaystyle f: M\to M é uma aplicação com constante de contração c . Dado a\in M , toma-se \displaystyle B_a =B\left[ a; r\right] . Dado x\in B_a , segue que

\displaystyle d(f(x), a)\leq d(f(a),a)+d(f(a),f(x))\leq d(f(a),a)+c\cdot d(a,x)

\displaystyle\leq d(f(a),a)+c\cdot\frac{d(a,f(a))}{1-c} = \frac{d(a,f(a))}{1-c} .

Isso provou que f(B)\subset B .

Em particular, se M é completo, tem-se que, pelo teorema de Banach, que f possui um único ponto fixo g\in M e, além disso, ele é atrator. Dado x\in B_a , toma-se a seqüência y_n = f^n(x) tem-se que (y_n) converge para esse ponto fixo g . Como B_a é fechado, segue que g\in B_a .

CQD


Lema 2 (Perturbação da identidade 1): Sejam E um espaço de Banach e \phi : E\to E uma contração. Segue que a aplicação f: E\to E , onde f(x)=x+\phi (x) , é um homeomorfismo.

Demonstração: Com efeito, primeiramente prova-se a sobrejetividade. Dado z\in E , segue que g: E\to E , g(x)=z-\phi (x) , é uma contração. Pelo teorema de Banach g possui um único ponto fixo. Ou seja, existe um único x_z\in E tal que x_z = z-\phi (x_z) , e isso quer dizer que existe um único x_z\in E tal que

f(x_z)=z=x_z+ \phi (x_z) .

Isso provou a sobrejetividade e injetividade de f .

Tem-se que, dados f(x), f(y)\in E ,

\left| f(x)-f(y)\right| \geq \left|x-y\right| - \left| \phi (x) - \phi (y)\right|

\geq \left| x-y\right| - c\left| x-y\right| = (1-c)\left| x-y\right| .

Isso prova a continuidade da inversa.

CQD


Lema 3 (Perturbação da identidade 2): Sejam E um espaço de Banach, U\subset E um aberto e \phi : U\to E uma contração. Segue que a aplicação f: U\to E , onde f(x)=x+\phi (x) , é um homeomorfismo sobre um aberto V\subset E .

Demonstração: Seja c uma constante de contração. Tem-se que, dados f(x), f(y)\in f(U) ,

\left| f(x)-f(y)\right| \geq \left|x-y\right| - \left| \phi (x) - \phi (y)\right|

\geq \left| x-y\right| - c\left| x-y\right| = (1-c)\left| x-y\right| .

Isso provou a injetividade e a continuidade da inversa. Ou seja, procou que f é um homeomorfismo sobre f(U) . Resta provar que f(U) é aberto em E .

Dado f(a)\in f(U) , segue que existe r>0 tal que B= B\left[ a;r\right]\subset U (por U ser aberto). Provemos que B( f(a); (1-c) r )\subset f(U) .

Dado y\in B(f(a); (1-c)r ) , segue que T_y : B\to E , onde T_y(x)=y-\phi (x) , é uma contração. Como B é fechado de um espaço de Banach, segue que é completo.   Tem-se que

\left|a-T_y(a)\right| = \left| a+\phi (a ) -y\right| = \left| y-f(a) \right| < (1-c)\cdot r .

Portanto, pelo leminha, segue que T_y (B )\subset B . Logo, pelo teorema do ponto fixo de Banach, T_y possui um único ponto fixo. Disso segue que existe x_y\in B tal que f(x_y) = y . Ou seja, y\in f(U) . Isso completou a prova de que B(f(a); (1-c)r )\subset f(U) . E isso, por sua vez, completou a prova de que f(U) é aberto.

CQD

Corolário do lema 3: Sejam U\subset\mathbb{R} ^m um aberto e f:U\to\mathbb{R}^m uma aplicação da forma f(x) = T\cdot x + \phi (x) , onde T:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m é um isomorfismo de espaços vetoriais e \phi : U\to\mathbb{R}^m é lipschitziana. Se a constante k de Lipschitz de \phi   é tal que \left\| T^{-1} \right\|\cdot k <1 , segue qye f é um homeomorfismo de U sobre um aberto f(U)\subset\mathbb{R}^m .

Demonstração: Com efeito, dados x,y\in U , tem-se que

\left| T^{-1}\cdot \phi (x)-T^{-1}\cdot \phi (y)\right| \leq

\left\| T^{-1}\right\| \left| \phi (x)-\phi (y)\right|\leq \left\| T^{-1}\right\|\cdot k\cdot \left| x-y\right| .

Isso provou que T^{-1}\cdot f é uma perturbação da identidade, pois

T^{-1}\cdot f (x) = x + T^{-1}\cdot \phi (x) . Logo, pelo lema demonstrado, T^{-1}\cdot f é um homeomorfismo de U sobre o aberto T^{-1} f(U)\subset\mathbb{R}^m . Como T é um isomorfismo de espaços vetoriais, segue que f é um homeomorfismo de U sobre o aberto f(U) .

CQD

Teorema 4 (Teorema da Função Inversa): Sejam U\subset \mathbb{R}^m um aberto e f: U\to\mathbb{R}^m de classe C^k tal que, em um ponto x_0\in U , f''(x_0) é um isomorfismo. Então f é um difeomorfismo de classe C^k de uma vizinhança V de x_0 sobre uma vizinhança U de f(x_0) .

Demonstração: Apenas para facilitar notação, sem perda de generalidade, supomos f'(0) é um isomorfismo e f(0)=0 . Segue que f(x) = f'(0)\cdot x + r(x) .

Note que r(x) = f(x)- f'(0)\cdot x é de classe C^k . Além disso, r'(0) = 0 . Seja \lambda < \frac{1}{\left| f'(0)\right| } . Segue que existe uma bola aberta V centrada em 0 tal que:

1) \left| r'(x)\right| <\lambda   para todo x\in V (basta usar a continuidade de r' );

2)f'(x) é um ismorfismo para todo x\in V (basta usar a continuidade de f' ).

Pela desigualdade do valor médio, \left| r(x)-r(y)\right| \leq \lambda \left| x-y\right| para todo x,y\in V . O corolário acima nos diz que f|_V é um homeomorfismo sobre um aberto f(V)= U\subset\mathbb{R}^m (vizinhança de f(0) ).

Provemos que g=f^{-1}: W\to V é diferenciável. Para isso, devemos provar que \displaystyle\frac{s(k)}{ \left| k\right| } = 0 , onde g(y+k) = g(y)+(f'(x))^{-1}\cdot k + s(k) .

.. .. ..

Teorema 6 (Teorema da Existência e Unicidade): Seja E um espaço de Banach. Suponha que f: L\times B\to E , onde B\subset E é uma bola fechada centrada em x_0 (com raio \beta ) e L\subset\mathbb{R} é um intervalo fechado centrado em t_0 (com raio \alpha ), é uma aplicação contínua limitada por M cumprindo a condição de Lipschitz \left| f(t, x) - f(t,y)\right|\leq c\cdot\left| x-y\right| para todo (t,x), (t,y) \in L\times B . Segue que existe uma única aplicação \phi: I\to E , onde I é centrado em t_0 (com raio min\left\{ \alpha , \frac{\beta }{M}\right\} ), diferenciável (de fato, C^1 ) que cumpre \phi ' (t) =f(t, \phi (t) ) e \phi (t_0)=x_0 .

Demonstração: